[Algebra L.] Soma de subespaços

por **pedro_kampos** » Dom Ago 03, 2014 20:34

Pessoal, tentei solucionar essa questão mas não consigo achar a preposição correta. e não bate com meus calculos:

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Minha humilde resolucao:

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por **adauto martins** » Sáb Nov 08, 2014 11:14

$U=((x,y,z)/(x,2x,x)) e subespaço do {\Re}^{3}$ ;W=(1,0-1) e um ponto do {\Re}^{3}...
como U+W e subespaço do ${\Re}^{3}$ ,entao:
U+W e um subespaço do ${\Re}^{3}$ ,entao :U+W=(x+1,2x,x), $x\in\Re$
U+W=0 $\Rightarrow x+1=0,2x=0,x=0...$ o q. contradiz pois x=-1 e x=0...logo U+W nao e subespaço do ${\Re}^{3}$

por **e8group** » Sáb Nov 08, 2014 13:55

Cuidado ! Soma de quaisquer dois (ou qualquer quantidade finita ) subespaços de um mesmo espaço vetorial é sempre um subespaço do espaço em questão , a prova é bem relativamente simples e a generalização entre parêntesis é assegurada por indução .

Em relação ao exercício , os dois subespaços são retas no R^3 que passam pela origem , e assim a base de tais subespaços constituem apenas de um vetor , como já foi verificado acima $U := span\{ (1,2,1) \}$ e pelo enunciado $W :=span\{ (1,0,-1) \}$ .

Temos que U + W

é subespaço do $\mathhb{R}^3$ e assim um vetor arbitrário deste subespaço é (x,y,z)

que se exprime como soma de dois vetores $u \in U$ e $w \in W$ , e estes vetores são dados por $u = \alpha (1,2,1)$ e $\beta (1,0,-1)$ . Segue daí que

$(x,y,z) = \alpha (1,2,1) + \beta (1,0,-1) = (\alpha + \beta , 2 \alpha , \alpha - \beta )$ . Logo

$x = \alpha + \beta , y = 2 \alpha$ e $z = \alpha - \beta$ e por isso (soma x + z e substitui 2 alpha por y )

$x+ z = \alpha + \beta + \alpha - \beta = 2 \alpha = y$ , pedro sua resposta está certa , porém confuso .

por **adauto martins** » Sáb Nov 08, 2014 14:27

tudo bem santiago...mas nao concordo com seus argumentos...o presente execicio,somente traz o vetorW=(1,0-1)q. na verdade e um ponto no espaço e nao esta contido no subespaço U...um ponto q. nao seja a origem ,nao e subespaço por si so...a origem sim,e unico,como e facil demonstrar...

por **e8group** » Sáb Nov 08, 2014 15:43

Caro adauto martins parece que tem alguns livros que utiliza a notação [ M ] (onde M é conjunto de elementos de um E.V) para designar o conjunto de todas combinações lineares possível dos elementos de M . Por exemplo , sendo $\{e_1 , e_2 \}$ a base canônica para o $\mathbb{R}^2$ , de acordo com a notação acima $\mathbb{R}^2 = [\{e_1 , e_2 \} ]$ .Eu particularmente evito esta notação e simplesmente escrevo $span \{e_1 , e_2 \}$ ou span (e_1, e_2 )