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por **zenildo** » Ter Jul 30, 2013 19:56

Numa olimpíada, foram colocadas, numa pista retilínea, 30 tochas acesas, distando 3 metros uma da outra e um recipiente contendo água a 1 metro antes da primeira tocha. Um corredor deveria partir do local onde está o recipiente, pegar a primeira tocha, retornar ao poto de partida para apagá-la e repetir esse movimento até apagar a 30 tocha. Sabendo-se que x expressa a quantidade total de metros percorridos, determine a soma dos algarismos que compõem o n° x.

por **Russman** » Qua Jul 31, 2013 01:23

Questão interessante. Trata-se da soma de valores que seguem uma P.A. e , embora simples, devemos resolvê-la atentamente.

Vamos colocar a tocha de número n= 1

no metro 0. Isto é, se

indica a quantidade de metros medidos, então d(n) =3(n-1)

. Nesta configuração, a tocha encontra-se em d=-1

.
Correndo de uma posição

qualquer até a tocha (partindo do metro -1) o corredor terá percorrido a distância
d* = 2.3(n*-1) + 2.1 = 6(n*-1) + 2

pois ele está em d=-1 m

, passa por d=0 m

, corre até

, volta para d=0

e então retorna a tocha em d=-1

.

Deste modo a distância total

percorrida pelo corredor será dada por

$x= \sum_{n=1}^{30}2(3(n-1)+1) = \sum_{n=1}^{30}6n-6+2 = \sum_{n=1}^{30}6n-4$

Agora podemos simplificar a soma para

$x = 6\sum_{n=1}^{30}n - 4\sum_{n=1}^{30}1$

e lembrando que

$\sum_{n=1}^{N}n = \frac{1}{2}N(N+1)$

e

$\sum_{n=1}^{N}1 = N$

então

$x = 6 \frac{1}{2}30(30+1) - 4.30 = 2670$ .

Portanto, a soma dos algarismo deve ser

por **zenildo** » Dom Set 01, 2013 15:28

eu queria saber se haveria a possibilidade desse calculo ser mais de raciocinio logico do que aplicar formulas.

por **zenildo** » Dom Set 01, 2013 17:20

Esse problema pederia ter sido resolvido através do raciocínio lógico?

por **Russman** » Seg Set 02, 2013 10:44

A única fórmula que eu apliquei foi a da soma de 1 a N. O desenvolvimento da distância percorrida com relação a posição da tocha foi justamente lógica.

por **zenildo** » Seg Set 02, 2013 16:30

Eu não quero dizer que seu problema está ilógico, eu me referia mais o modo de fazê-lo, pois em uma escola técnica, eles tendem a simplificá-lo de forma a reduzir tempo.Como assim? Porque as questões do Enem em média , leva 2 minutos a 3 minutos cada, logo o tempo é ouro.Mas valeu, todo a ajuda é bem vinda à formação do conhecimento, agradecido.

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