[INTEGRAL DEF.] Dúvida(s)

por **fabriel** » Sáb Jan 05, 2013 21:42

Oi pessoal preciso calcular essa integral:
$\frac{d\left(\int_{-8}^{x}\frac{1-t}{1-{t}^{3}}dt \right)}{dx}$
Entretanto estou com duvida na hora de achar a primitiva.
eu não consigo fazer uma substituição valida mesmo quebrando ela em duas..
Como vou integrar e depois derivar, então vou chegar no mesmo resultdo, então o resultado seria:
$\frac{1-t}{1-{t}^{3}}$
e eu avaliaria nos pontos -8 e x

Mas ai eu teria que primeiro passar pelo x não é?
Como será essa resolução? esse tipo de exercício tem haver com algum teorema ou alguma técnica de integração??
obrigado

por **e8group** » Sáb Jan 05, 2013 23:02

Suponhamos que ,

$\int_{-8}^{x} f'(t) dt = F(x) - F(-8)$ .

Temos então,

$\frac{d}{dx} \int_{-8}^{x} f'(t) dt = \frac{d}{dx}F(-8) - \frac{d}{dx}F(x)$ .

Como F(-8)

nos fornecerá um número real sua derivada é nula .Logo,

$\frac{d}{dx} \int_{-8}^{x} f'(t) dt = f'(x) = \frac{1-x}{1-x^3}$ ou $f'(x) = \frac{1}{x^2 - x +1}$

.Espero que ajude .

por **fabriel** » Dom Jan 06, 2013 00:02

humm obrigado
Eu só não entendi essa parte: $f'(x) = \frac{1}{x^2 - x +1}$

por **e8group** » Dom Jan 06, 2013 00:49

Boa noite , basta fazer a divisão de 1 - x^3 = - (x^3 - 1)

por

. Assim ,

- (x^3 - 1) = -(x-1)[x^2 + x + 1 ] = (1-x)[x^2 + x + 1 ]

.

por **fabriel** » Dom Jan 06, 2013 12:15

hummm entendi então foi um Artificio Algébrico.. Então podemos concluir que a solução é:
$f'(x) = \frac{1}{x^2 - x +1}$
não é mesmo??
obrigado!!
Um abraço!!

por **e8group** » Dom Jan 06, 2013 12:46

Não .Peço desculpas , copiei erroneamente a primeira resposta . O correto é 1/(x^2 +x + 1)

.

Veja por que , $\frac{1-x}{1-x^3} = \frac{-(x-1)}{-(x^3 - 1)} = \frac{x-1}{x^3 - 1}$ .

Assim fazendo a divisão de x^3 - 1

por

vamos obter que x^3 - 1

=

.Logo , $\frac{1-x}{1-x^3} = \frac{1}{x^2 + x + 1} , x \neq 1$

Tem um caso geral $x^n -a^n = a^{n-1} + a^{n-2} x + a^{n-3}x^2 + \dots + a x^{n-2} + x^{n-1}$ ou de forma compacta $\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-(k+1)} x^{k}$ . Basta dividir

por

por **fabriel** » Dom Jan 06, 2013 13:30

Mas eu tenho que excluir o 1?
Pois Se calcularmos os limites laterais dessa função:
$\frac{1}{x^2 + x +1}$
Obteremos: $\frac{1}{3}$
logo esse limite quando x tende a 1 existe, que é: $\frac{1}{3}$

por **e8group** » Dom Jan 06, 2013 14:13

Boa tarde .Note que em hipótese nenhuma podemos fazer a simplificação $\frac{1-x}{1-x^3}$ obtendo $\frac{1}{x^2 + x + 1}$ sem deixar claro que $x \neq 1$ . Caso contrário , por um lado 1/(1^2 + 1 + 1) = 1/3

.Entretanto, por outro lado $\frac{1-1}{1-1^3}$ ???? (Não estar definido ) .

Acontece que tomar limite quando x tende a 1 .É diferente que calcular x = 1

(que não estar definido) . Note que

estar em vizinhança do número 1 ,por isso é natural que os limites laterais resultam um número bem próximo de 1/3 .(Mas não 1/3 ) .

Façamos uma analogia , Sejam $g : x \mapsto x-1$ e $f : x \mapsto \frac{x^2 -2x +1}{x-1}$ .

Perceba que $g \neq f$ pois $D_g \neq D_f$ .Pois $D_f = \mathbb{R}- \{ -1\} \subset D_g = \mathbb{R}$ e domínio de

não estar contido no domínio de

.

Mas note que f(x) = x- 1