Integral 2

por **Dan** » Ter Set 15, 2009 17:19

Oi gente. Estou aprendendo integrais definidas e gostaria de saber se a resolução da seguinte integral está correta. Ela é bem simples, mas eu fico em dúvida quanto aos sinais e obviamente não tenho a resposta:

$\int_{0}^{2}(e^t-e^{-t})dt$

$\int_{0}^{2}e^t.dt - \int_{0}^{2}e^{-t}.dt$
A minha principal dúvida é nesses sinais:
$(e^2 + 1) - (e^{-2} + 1)$

$e^2-\frac{1}{e^2}$

Não penso que seja isso... Até porque nesse exemplo o $e^{-t}$ não foi corretamente integrado. Refiz agora e deu:
$e^2+\frac{1}{e^2}+2$

Eu me confundi principalmente pois $-e^{0}$ é igual a 1, e não a -1.

por **Molina** » Ter Set 15, 2009 18:57

Dan escreveu: $\int_{0}^{2}e^t.dt - \int_{0}^{2}e^{-t}.dt$
A minha principal dúvida é nesses sinais:
$(e^2 + 1) - (e^{-2} + 1)$

Na verdade $\int_{0}^{2}e^t.dt=e^2-e^0$

e

$\int_{0}^{2}e^{-t}.dt=e^{-2}-e^{-0}$

Você está colocando o sinal de mais na hora que faz a intergral nos limites, e é menos.

Juntando tudo:

$(e^2-e^0)-(e^{-2}-e^{-0})=(e^2-1)-(e^{-2}-1)=e^2-e^{-2}$

:y:

por **Dan** » Qua Set 16, 2009 09:51

Olá molina.

Quer dizer que quando temos $\int_{a}^{b}e^{-t}.dt$ a integral disso é só $e^{-t}$ ?
Eu tava achando que tinha que derivar o -t, que daria -1. Tem que ou não tem que fazer isso?

Então só deve ser feita essa derivação em casos como $\int_{a}^{b}t.e^{-t^2}.dt$ onde temos uma variável multiplicando?

Acontece que quando temos a integral indefinida $f(x)=\int_{}^{}(e^x-e^{-x})$ o resultado disso dá $e^x+e^{-x}+c$ .

Ou seja, quando derivamos esse -x, o sinal do e muda. Isso não acontece só porque a integral é definida? Porque o sinal do e não muda se o expoente é negativo?

por **Molina** » Qua Set 16, 2009 14:26

Desculpe-me. Realmente me confundi na segunda integral. Corrigindo:

$\int_{0}^{2}e^{-t}.dt=-(e^{-2}-e^{-0})=-e^{-2}+e^{-0}$

Abraços!

por **Dan** » Qua Set 16, 2009 15:08

Esses sinais tão de matar mesmo...

Olha só, eu tava refazendo agora e achei o seguinte:

$\int_{0}^{2}e^t - \int_{0}^{2}e^{-t}$

Isso dá:
$e^t - (-e^{-t})$ (só pra visualizar)

Agora:

$e^2 - e^0-[-e^{-2}-(-e^0)]$

Espero que esse raciocínio que eu usei esteja correto, porque se for assim, imagino eu que o resultado seja o seguinte:

$e^2 - 1-[-e^{-2}-(1)]$

$e^2 + e^{-2}-2$

Só que eu ainda não estou certo da resolução, pois não sei se esse 1 fica positivo ou negativo. Eu deixei ele negativo aí pois segui a lógica que qualquer número, mesmo negativo, quando elevado na 0 dá 1 positivo (com o sinal daí ele volta a ficar negativo).
Essa idéia está certa?

por **Molina** » Qua Set 16, 2009 21:44

Dan escreveu:Esses sinais tão de matar mesmo...

Olha só, eu tava refazendo agora e achei o seguinte:

$\int_{0}^{2}e^t - \int_{0}^{2}e^{-t}$

Isso dá:
$e^t - (-e^{-t})$ (só pra visualizar)

Agora:

$e^2 - e^0-[-e^{-2}-(-e^0)]$

Espero que esse raciocínio que eu usei esteja correto, porque se for assim, imagino eu que o resultado seja o seguinte:

$e^2 - 1-[-e^{-2}-(1)]$

$e^2 + e^{-2}-2$

Só que eu ainda não estou certo da resolução, pois não sei se esse 1 fica positivo ou negativo. Eu deixei ele negativo aí pois segui a lógica que qualquer número, mesmo negativo, quando elevado na 0 dá 1 positivo (com o sinal daí ele volta a ficar negativo).
Essa idéia está certa?

Olá, amigo.

Lembre-se que -e^0=-1

e

Então desta passagem: $e^2 - e^0-[-e^{-2}-(-e^0)]$ temos que:

$e^2 - 1-[-e^{-2}-(-1)]$
$e^2 - 1-[-e^{-2}+1]$
$e^2 - 1+e^{-2}-1$
$e^2 +e^{-2}-2$

Que no fim das contas deu a mesma coisa que você tinha colocado.
Só naquela primeira passagem que faltou o sinal de negativo na frente.

Mas acho que é isso mesmo.

Abraços, :y:

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