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[Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

[Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor hlustosa » Dom Jul 29, 2012 14:54

Estou fazendo as questões da última prova do POSCOMP, e estou com dúvidas na interpretação de uma questão:

Questão 10: A proporção de computadores acessando um provedor em um dado instante t a partir das 8 horas é dada
por:

N(t)=\frac{1}{1+{3e}^{-kt}}

onde o instante t é dado em horas e k é uma constante positiva.
A proporção estimada de computadores acessando este provedor ao meio-dia é de: (ai existem as alternativas, sendo a correta segundo a gabarito a letra d)

d)

\frac{1}{k}ln\frac{(3+{e}^{4k})}{4}

Bom, eu não sei se entendi direito a questão. Me pareceu que bastava aplicar 12 em t, e então fazer alguns ajustes para obter a reposta. Eu comecei aplicando 12 na questão e obtive:

N(12)=\frac{1}{1+{3e}^{-12k}}

N(12)=\frac{1}{1+\frac{1}{{3e}^{12k}}}

N(12)=\frac{1}{\frac{{3e}^{12k}+1}{{3e}^{12k}}}

N(12)=\frac{{3e}^{12k}}{{3e}^{12k}+1}

Chegando aqui eu travo. Com certeza eu estou no caminho errado (não tenho certeza se entendi bem a questão). Parece que a solução não tem nada a ver com o que eu estou fazendo. Se alguém que tiver entendido a questão puder me explicar, eu ficaria muito grato.
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jul 29, 2012 15:35

Olá hlustosa,
seja bem-vindo(a)!
De acordo com o enunciado, o instante t é aquele contado a partir das 8 horas, então:

t = 12 - 8

t = 4
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jul 29, 2012 16:03

N(4) = \frac{1}{1 + 3 \times \left (\frac{1}{e}  \right )^{4k}} \\\\\\ N(4) = \frac{1}{1 + \frac{3}{e^{4k}}} \\\\\\ N(4) = \frac{1}{\frac{e^{4k} + 3}{e^{4k}}} \\\\\\ N(4) = \frac{e^{4k}}{e^{4k} + 3}

(...)
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor hlustosa » Seg Jul 30, 2012 01:13

Obrigado danjr5, realmente foi falta de atenção minha nesses dois pontos que você citou. Mas ainda o valor obtido está diferente da solução. Como tinha um ln na expressão algebrica, eu resolvi integrar a função no intervalo de 0 até 4, e consegui chegar na resposta. Mas é chato, porque eu não entendi isso a partir do enunciado, foi praticamente tentativa e erro. Eis o que eu fiz:

f(x) = \frac{{e}^{kt}}{3 + {e}^{kt}}

A partir disso eu calculei a integral:

\int_{0}^{4}\frac{{e}^{kt}}{3 + {e}^{kt}} dt

Usando o método da substituição:

u = 3+{e}^{kt}

\frac{du}{dt} = k{e}^{kt}

\frac{1}{k{e}^{kt}} du = dx

Aplicando u:

=\int_{0}^{4}\frac{{e}^{kt}}{u}.\frac{1}{k{e}^{kt}} du

=\int_{0}^{4}\frac{1}{uk} du

=\frac{1}{k}ln \left|u \right| (de 0 até 4)

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{kt} \right| (de 0 até 4)

Subtraindo:

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{4t} \right| - \frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{0} \right|

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{4t} \right| - \frac{1}{k}ln \left|4 \right|

Colocando 1/k em evidência

=\frac{1}{k}\left(ln\left|3 + {e}^{4t} \right|-ln\left|4\right|  \right)

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

=\frac{1}{k}ln \frac{3 + {e}^{4t}}{4}

E é essa a solução do gabarito. Mas eu olhei pra resposta e decici fazer, eu não entendi ainda o enunciado do exercício! :-D
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D