[Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

por **hlustosa** » Dom Jul 29, 2012 14:54

Estou fazendo as questões da última prova do POSCOMP, e estou com dúvidas na interpretação de uma questão:

Questão 10: A proporção de computadores acessando um provedor em um dado instante t a partir das 8 horas é dada
por:

$N(t)=\frac{1}{1+{3e}^{-kt}}$

onde o instante t é dado em horas e k é uma constante positiva.
A proporção estimada de computadores acessando este provedor ao meio-dia é de: (ai existem as alternativas, sendo a correta segundo a gabarito a letra d)

d)

$\frac{1}{k}ln\frac{(3+{e}^{4k})}{4}$

Bom, eu não sei se entendi direito a questão. Me pareceu que bastava aplicar 12 em t, e então fazer alguns ajustes para obter a reposta. Eu comecei aplicando 12 na questão e obtive:

$N(12)=\frac{1}{1+{3e}^{-12k}}$

$N(12)=\frac{1}{1+\frac{1}{{3e}^{12k}}}$

$N(12)=\frac{1}{\frac{{3e}^{12k}+1}{{3e}^{12k}}}$

$N(12)=\frac{{3e}^{12k}}{{3e}^{12k}+1}$

Chegando aqui eu travo. Com certeza eu estou no caminho errado (não tenho certeza se entendi bem a questão). Parece que a solução não tem nada a ver com o que eu estou fazendo. Se alguém que tiver entendido a questão puder me explicar, eu ficaria muito grato.

por **DanielFerreira** » Dom Jul 29, 2012 15:35

Olá hlustosa,
seja bem-vindo(a)!
De acordo com o enunciado, o instante

é aquele contado a partir das 8 horas, então:

t = 12 - 8

por **DanielFerreira** » Dom Jul 29, 2012 16:03

$N(4) = \frac{1}{1 + 3 \times \left (\frac{1}{e} \right )^{4k}} \\\\\\ N(4) = \frac{1}{1 + \frac{3}{e^{4k}}} \\\\\\ N(4) = \frac{1}{\frac{e^{4k} + 3}{e^{4k}}} \\\\\\ N(4) = \frac{e^{4k}}{e^{4k} + 3}$

(...)

por **hlustosa** » Seg Jul 30, 2012 01:13

Obrigado danjr5, realmente foi falta de atenção minha nesses dois pontos que você citou. Mas ainda o valor obtido está diferente da solução. Como tinha um ln na expressão algebrica, eu resolvi integrar a função no intervalo de 0 até 4, e consegui chegar na resposta. Mas é chato, porque eu não entendi isso a partir do enunciado, foi praticamente tentativa e erro. Eis o que eu fiz:

$f(x) = \frac{{e}^{kt}}{3 + {e}^{kt}}$

A partir disso eu calculei a integral:

$\int_{0}^{4}\frac{{e}^{kt}}{3 + {e}^{kt}} dt$

Usando o método da substituição:

$u = 3+{e}^{kt}$

$\frac{du}{dt} = k{e}^{kt}$

$\frac{1}{k{e}^{kt}} du = dx$

Aplicando u:

$=\int_{0}^{4}\frac{{e}^{kt}}{u}.\frac{1}{k{e}^{kt}} du$

$=\int_{0}^{4}\frac{1}{uk} du$

$=\frac{1}{k}ln \left|u \right|$ (de 0 até 4)

$=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{kt} \right|$ (de 0 até 4)

Subtraindo:

$=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{4t} \right| - \frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{0} \right|$

$=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{4t} \right| - \frac{1}{k}ln \left|4 \right|$

Colocando 1/k em evidência

$=\frac{1}{k}\left(ln\left|3 + {e}^{4t} \right|-ln\left|4\right| \right)$

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

$=\frac{1}{k}ln \frac{3 + {e}^{4t}}{4}$

E é essa a solução do gabarito. Mas eu olhei pra resposta e decici fazer, eu não entendi ainda o enunciado do exercício! :-D

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