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[Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

[Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor hlustosa » Dom Jul 29, 2012 14:54

Estou fazendo as questões da última prova do POSCOMP, e estou com dúvidas na interpretação de uma questão:

Questão 10: A proporção de computadores acessando um provedor em um dado instante t a partir das 8 horas é dada
por:

N(t)=\frac{1}{1+{3e}^{-kt}}

onde o instante t é dado em horas e k é uma constante positiva.
A proporção estimada de computadores acessando este provedor ao meio-dia é de: (ai existem as alternativas, sendo a correta segundo a gabarito a letra d)

d)

\frac{1}{k}ln\frac{(3+{e}^{4k})}{4}

Bom, eu não sei se entendi direito a questão. Me pareceu que bastava aplicar 12 em t, e então fazer alguns ajustes para obter a reposta. Eu comecei aplicando 12 na questão e obtive:

N(12)=\frac{1}{1+{3e}^{-12k}}

N(12)=\frac{1}{1+\frac{1}{{3e}^{12k}}}

N(12)=\frac{1}{\frac{{3e}^{12k}+1}{{3e}^{12k}}}

N(12)=\frac{{3e}^{12k}}{{3e}^{12k}+1}

Chegando aqui eu travo. Com certeza eu estou no caminho errado (não tenho certeza se entendi bem a questão). Parece que a solução não tem nada a ver com o que eu estou fazendo. Se alguém que tiver entendido a questão puder me explicar, eu ficaria muito grato.
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jul 29, 2012 15:35

Olá hlustosa,
seja bem-vindo(a)!
De acordo com o enunciado, o instante t é aquele contado a partir das 8 horas, então:

t = 12 - 8

t = 4
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jul 29, 2012 16:03

N(4) = \frac{1}{1 + 3 \times \left (\frac{1}{e}  \right )^{4k}} \\\\\\ N(4) = \frac{1}{1 + \frac{3}{e^{4k}}} \\\\\\ N(4) = \frac{1}{\frac{e^{4k} + 3}{e^{4k}}} \\\\\\ N(4) = \frac{e^{4k}}{e^{4k} + 3}

(...)
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor hlustosa » Seg Jul 30, 2012 01:13

Obrigado danjr5, realmente foi falta de atenção minha nesses dois pontos que você citou. Mas ainda o valor obtido está diferente da solução. Como tinha um ln na expressão algebrica, eu resolvi integrar a função no intervalo de 0 até 4, e consegui chegar na resposta. Mas é chato, porque eu não entendi isso a partir do enunciado, foi praticamente tentativa e erro. Eis o que eu fiz:

f(x) = \frac{{e}^{kt}}{3 + {e}^{kt}}

A partir disso eu calculei a integral:

\int_{0}^{4}\frac{{e}^{kt}}{3 + {e}^{kt}} dt

Usando o método da substituição:

u = 3+{e}^{kt}

\frac{du}{dt} = k{e}^{kt}

\frac{1}{k{e}^{kt}} du = dx

Aplicando u:

=\int_{0}^{4}\frac{{e}^{kt}}{u}.\frac{1}{k{e}^{kt}} du

=\int_{0}^{4}\frac{1}{uk} du

=\frac{1}{k}ln \left|u \right| (de 0 até 4)

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{kt} \right| (de 0 até 4)

Subtraindo:

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{4t} \right| - \frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{0} \right|

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{4t} \right| - \frac{1}{k}ln \left|4 \right|

Colocando 1/k em evidência

=\frac{1}{k}\left(ln\left|3 + {e}^{4t} \right|-ln\left|4\right|  \right)

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

=\frac{1}{k}ln \frac{3 + {e}^{4t}}{4}

E é essa a solução do gabarito. Mas eu olhei pra resposta e decici fazer, eu não entendi ainda o enunciado do exercício! :-D
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Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

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As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

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