Plano

por **Claudin** » Seg Jul 09, 2012 19:46

Determine a equação cartesiana do plano

$\begin{cases} x= 1+2s+t \\ y=-2+s-t \\z=3-s-t \end{cases}$

Não sei como transformar para forma cartesiana, seria uma passagem de paramétricas para equação cartesiana?

por **DanielFerreira** » Sáb Jul 14, 2012 00:32

Olá Claudin,
boa noite!
Inicialmente, devemos encontrar um vetor $\underset{u}{\rightarrow}$ perpendicular ao plano;

Consideremos suas coordenadas... $\underset{u}{\rightarrow} = (a,b,c)$ ;
Com isso:

$\begin{cases}(a,b,c).(2,1,- 1) = 0 \\ (a,b,c).(1,- 1,- 1) = 0\end{cases}$

$\begin{cases}2a + b - c = 0 \\ a - b - c = 0\end{cases}$

Teremos:
$b = - \frac{a}{2}$ e $c = \frac{3a}{2}$

Considerando a = 2

, $\underset{u}{\rightarrow} = (2,- 1,3)$

Sabendo que a equação cartesiana é dada por ax + by + cz = d

, então,

é obtido substituindo o ponto do plano (1,- 2,3)

na equação, portanto,...

2x - y + 3z = d

Daí,

Espero ter ajudado!

Daniel F.

por **MarceloFantini** » Sáb Jul 14, 2012 01:13

É interessante notar outra forma de resolver este problema, tomando o produto vetorial dos vetores diretores do plano para encontrar o vetor normal:

$\vec{v_1} \wedge \vec{v_2} = (-2,1,-3)$ ,

de onde

-2x+y-3z=d,

e como o ponto P_0 = (1,-2,3)

pertence ao plano, temos

-2(1)+(-2)-3(3)=-2-2-9=-13=d

,

portanto

-2x+y-3z=-13

, ou multiplicando por menos um para trocar o sinal, 2x-y+3z=13

.

Note que o vetor normal encontrado pelo produto vetorial foi um múltiplo do vetor encontrado pelo Danjr, como deveria ser.

por **Russman** » Sáb Jul 14, 2012 02:29

Só para completar a excelente abordagem do Moderador ao problema, eu gostaria de expor a solução do problema de forma a expressar o plano como solução uma equação vetorial!

Veja que, se $\overrightarrow{r} = <x,y,z>$ é o raio-vetor do espaço $\mathbb{R}^{3}$ , então, se $\overrightarrow{v_{1}}$ , $\overrightarrow{v_{2}}$ e $\overrightarrow{v_{3}}$ são vetores constantes, a equação vetorial do plano é dada por

$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{v_{1}}+s\overrightarrow{v_{2}}+t\overrightarrow{v_{3}}$ ,

onde

e

são parâmetros.

Concordando que um vetor $\overrightarrow{f}$ , de forma que

$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{r_{2}}-\overrightarrow{r_{1}}$ ,

isto é, seja obtido da subtração de dois raio-vetores quaisquer dessa superfície seja paralelo/pertencente ao plano, então, com isso, podemos provar que os vetores $\overrightarrow{v_{2}}$ e $\overrightarrow{v_{3}}$ são a base de qualquer outro vetor pertencente a esse plano! Veja,

$\overrightarrow{f}=\overrightarrow{r_{2}}-\overrightarrow{r_{1}}=(\overrightarrow{v_{1}}+s_{2}\overrightarrow{v_{2}}+t_{2}\overrightarrow{v_{3}})-(\overrightarrow{v_{1}}+s_{1}\overrightarrow{v_{2}}+t_{1}\overrightarrow{v_{3}})=(s_{2}-s_{1})\overrightarrow{v_{2}}+(t_{2}-t_{1})\overrightarrow{v_{3}}$ .

Vemos que o vetor $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{r_{2}}-\overrightarrow{r_{1}}$ é combinação linear dos vetores acima. Logo estes são base para o espaço entendido pelo plano e , portanto, seus chamados vetores diretores!
Assim, um vetor $\overrightarrow{N}$ que seja normal ao plano é obtido tomando

$\overrightarrow{N}=k(\overrightarrow{v_{3}}\times \overrightarrow{v_{2}})$ ,

isto é, tomando o produto vetorial dos vetores diretores!

Ainda, você pode provar esse fato, como exercício, tomando 3 vetores $\overrightarrow{r_{1}}, \overrightarrow{r_{2}}, \overrightarrow{r_{3}})$ e obtendo o vetor normal $\overrightarrow{N}$ da seguinte forma

$\overrightarrow{N}= (\overrightarrow{r_{3}}-\overrightarrow{r_{2}}) \times (\overrightarrow{r_{3}}-\overrightarrow{r_{1}})$ .

Desenvolvendo este produto você chegará a mesma conclusão.

por **Claudin** » Seg Jul 16, 2012 03:20

por **DanielFerreira** » Seg Jul 16, 2012 20:55

por **Claudin** » Seg Jul 16, 2012 22:48

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