Equação: questão da UPA

por **Carlso Dargo** » Seg Mai 14, 2012 20:17

Questão 12
Determine o valor da seguinte equação:
$\sqrt[3]{5*\sqrt[3]{3*\sqrt[3]{5*\sqrt[3]{3*\sqrt[3]{5}*\sqrt[3]{3}}}}}$

a) $\sqrt[8]{375}$
b) $\sqrt[3]{35}$
c) $\sqrt[3]{53}$
d) $\sqrt[6]535}$

Gabarito letra a
Como chegar a esse resultado?

por **DanielFerreira** » Sáb Mai 19, 2012 09:55

Quarto radical:

$5\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{3}} ===>$ $\sqrt[3]{5^3.3.\sqrt[3]{3.5}} ====>$ $\sqrt[3]{\sqrt[3]{5^9.3^3.3.5}} ====>$ $\sqrt[9]{3^4.5^{10}}$

Terceiro radical:

$3.\sqrt[3]{\sqrt[9]{3^4.5^{10}}} ====>$ $3.\sqrt[27]{3^4.5^{10}} ====>$ $\sqrt[27]{3^{27}.3^4.5^{10}} ====>$ $\sqrt[27]{3^{31}.5^{10}}$

Segundo radical:

$5.\sqrt[3]{\sqrt[27]{3^{31}.5^{10}}} ====>$ $5.\sqrt[81]{3^{31}.5^{10}} ====>$ $\sqrt[81]{5.^{81}.3^{31}.5^{10}} ====>$ $\sqrt[81]{5^{91}.3^{31}}$

Primeiro radical:

$\sqrt[3]{\sqrt[81]{5^{91}.3^{31}}} ====>$ $\sqrt[243]{5^{91}.3^{31}} ====>$ devo ter errado alguma passagem, mas não consigo notar.

por **Carlso Dargo** » Dom Mai 20, 2012 22:32

danjr5 eu esqueci de colocar uma '...' no final ok! Obrigado!

por **LuizAquino** » Seg Mai 21, 2012 00:22

Carlso Dargo escreveu:Questão 12
Determine o valor da seguinte equação:
$\sqrt[3]{5*\sqrt[3]{3*\sqrt[3]{5*\sqrt[3]{3*\sqrt[3]{5}*\sqrt[3]{3}}}}}$

a) $\sqrt[8]{375}$
b) $\sqrt[3]{35}$
c) $\sqrt[3]{53}$
d) $\sqrt[6]535}$

Gabarito letra a
Como chegar a esse resultado?

Carlso Dargo escreveu:eu esqueci de colocar uma '...' no final ok!

Eu suponho que no texto original do exercício ao invés de "seguinte equação" há na verdade algo como "seguinte expressão".

Além disso, eu presumo que a expressão original seja:

$\sqrt[3]{5\sqrt[3]{3\sqrt[3]{5\sqrt[3]{3\sqrt[3]{5\sqrt[3]{3\ldots}}}}}}$

Chamando essa expressão de L, temos que:

$L = \sqrt[3]{5\sqrt[3]{3\sqrt[3]{5\sqrt[3]{3\sqrt[3]{5\sqrt[3]{3\ldots}}}}}}$

$L = \sqrt[3]{5\sqrt[3]{3L}}$

$L^3 = 5\sqrt[3]{3L}$

L^9 = 375L

$L = \sqrt[8]{375}$

por **Carlso Dargo** » Seg Mai 21, 2012 09:27

Não Luiz Aquino, no texto é usada a palavra equação e ela está exatamente da forma como postada,faltava apenas a "..." como postei na correção. Trata-se de uma progressão geometrica infinita.
Obrigado!

por **LuizAquino** » Seg Mai 21, 2012 10:40

Carlso Dargo escreveu:Não Luiz Aquino, no texto é usada a palavra equação

Então o texto está mal escrito. Não há equação alguma no enunciado. Há apenas uma expressão.

Carlso Dargo escreveu:e ela está exatamente da forma como postada,faltava apenas a "..."

Bem, veja o que você postou:

$\sqrt[3]{5*\sqrt[3]{3*\sqrt[3]{5*\sqrt[3]{3*\sqrt[3]{5}*\sqrt[3]{3}}}}}$

No final da expressão, note que você colocou $\sqrt[3]{5}\cdot \sqrt[3]{3}$ ao invés de $\sqrt[3]{5\cdot \sqrt[3]{3}}$ . Então além das reticências, provavelmente também há essa correção.

Carlso Dargo escreveu:Trata-se de uma progressão geometrica infinita.

Isso não é uma progressão geométrica infinita.

Note que se a_n

é o n-ésimo termo dessa sequência, então temos que:

$a_n = \sqrt[3]{5\sqrt[3]{3a_{n-1}}}$

$a_n = \sqrt[3]{\sqrt[3]{375a_{n-1}}}$

$a_n = \sqrt[9]{375a_{n-1}}$

Perceba como isso não define uma progressão geométrica. Para ser uma progressão geométrica, deveríamos ter algo do tipo $a_n = qa_{n-1}$ .