Derivadas

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 16, 2011 10:31

Encontre o valor de ${d}^{2}y/d{x}^{2}$ no ponto (2,2):

${x}^{3}+ {y}^{3}$

Sei que devo achar a derivada de segunda ordem, porém, estou me confundindo com isso.

$f'(x)={3x}^{2}+{3y}^{2}=0$

f"(x)=6x+6y=0

Sabendo que a derivada implícita é do tipo y em função de x, temos que:

6x+6y.y'=0

$y'= \frac{-6x}{6y}= \frac{-x}{y}$

Até aí tudo bem?

O problema é que quando aplico os pontos, a respota é: -1.
Sendo que o correto seria: -2

Grato,

por **Claudin** » Qui Jun 16, 2011 16:30

Utilizando á regra da cadeia só consegui encontrar -1 também.

por **LuizAquino** » Qui Jun 16, 2011 19:07

Você enviou o exercício incompleto.

É necessário uma equação contendo as duas variáveis.

Você apenas enviou uma expressão.

Por acaso a equação é x³ + y³ = 0? Ou é outra?

por **Fabio Cabral** » Qui Jun 16, 2011 19:11

LuizAquino escreveu:Você enviou o exercício incompleto.

É necessário uma equação contendo as duas variáveis.

Você apenas enviou uma expressão.

Por acaso a equação é x³ + y³ = 0? Ou é outra?

Perdão,

x³ + y³=16

por **LuizAquino** » Qui Jun 16, 2011 20:03

Nesse caso, você tem duas opções: resolver as derivadas implicitamente; resolver as derivadas explicitamente.

Para resolver explicitamente, basta notar que se x^3 + y^3 = 16

, então $y = \sqrt[3]{16-x^3}$ . Daí, basta calcular a segunda derivada e avaliá-la em x = 2.

Já para resolver implicitamente, derivando a equação x^3 + y^3 = 16

, obtemos $3x^2 + 3y^2y^\prime = 0$ . Avaliando essa equação no ponto (2, 2), você determina y'.

Derivando novamente a última equação, obtemos $6x + 6yy^\prime y^\prime + 3y^2y^{\prime\prime} = 0$ (note que foi necessário usar a regra do produto no termo $3y^2y^\prime$ ). Avaliando essa equação no ponto (2, 2) e usando o valor de y' encontrado antes, você determina y''.

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 17, 2011 10:58

LuizAquino escreveu:Derivando novamente a última equação, obtemos $6x + 6yy^\prime y^\prime + 3y^2y^{\prime\prime} = 0$ (note que foi necessário usar a regra do produto no termo $3y^2y^\prime$ ). Avaliando essa equação no ponto (2, 2) e usando o valor de y' encontrado antes, você determina y''.

Veja:

$6x+6yy'y'+{3y}^{2}y''$

Porque ao aplicar a derivada ímplicita em 6yy'

você multiplicou por

e não por

?
Me explique porque o mesmo ocorreu em ${3y}^{2}y''$

Grato,

por **LuizAquino** » Sex Jun 17, 2011 11:39

Considere que y = f(x).

Queremos derivar $3y^2y^{\prime}$ . Ou seja, queremos derivar $3[f(x)]^2f^{\prime}(x)$ .

Aplicando a regra do produto: $\left\{3[f(x)]^2f^{\prime}(x)\right\}^\prime = \left\{3[f(x)]^2\right\}^\prime f^{\prime}(x) + 3[f(x)]^2\left\{f^{\prime}(x)\right\}^\prime$ .

Aplicando a regra da cadeia na primeira parcela: $\left\{3[f(x)]^2f^{\prime}(x)\right\}^\prime = 6f(x)f^\prime (x) f^{\prime}(x) + 3[f(x)]^2f^{\prime\prime}(x)$ .

Portanto, temos que: $\left(3y^2y^\prime\right)^\prime = 6yy^\prime y^\prime + 3y^2y^{\prime\prime}$ .

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 17, 2011 12:07

Compreendi.
Creio que meu erro tenha sido na derivação (regra do produto)

${3y}^{2}y'$ onde:

a(x)=3y² -> a'(x)=6y
b(x)=y' -> b'(x)= (y')'

Na derivada de y', eu estava colocando 1.

Obrigado novamente, Luiz

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 17, 2011 12:18

Há ainda duas questões que não consigo chegar numa resolução. Vamos por partes:

${x}^{2}-\sqrt[]{3}xy+{2y}^{2}=5$

Ele quer reta tangente e normal nos pontos $(\sqrt[]{3},2)$ . Nada complicado, PORÉM..

Não estou conseguindo derivar $\sqrt[]{3}xy$ .

Qual regra aplico? Lembrando que a raíz envolve só o 3, ou seja, $\sqrt[]{3}.x.y$
Por isso não consigo concluir a questão.

Att,

por **LuizAquino** » Sex Jun 17, 2011 12:59

Aplique a regra do produto para derivar o termo desejado.

Lembre-se que $\sqrt{3}$ é apenas uma constante.

por **Fabio Cabral** » Dom Jun 19, 2011 15:40

Aplicando a regra da derivada implícita encontrei: $y'=\frac{-2x}{-\sqrt[]{3}y-\sqrt[]{3}x+4y}$

Confere, ou ainda está errado?

por **LuizAquino** » Dom Jun 19, 2011 16:16

Fabio Cabral escreveu:Aplicando a regra da derivada implícita encontrei: $y^\prime=\frac{-2x}{-\sqrt[]{3}y-\sqrt[]{3}x+4y}$

Confere, ou ainda está errado?

Está errado.

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