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Integral por substituição.

Integral por substituição.

Mensagempor Sobreira » Ter Ago 20, 2013 08:56

Tenho que resolver a seguinte integral:

\int_{}^{}\frac{2x}{\left(x+3 \right)}dx

Tentei resolver por substituição. Sei que posso resolver somando e diminuindo três no numerador para separar o denominador e ficar com 1-\frac{3}{\left(x+3 \right)}.

Mas resolvendo por substituição:

u=x+3

x=u-3

\frac{du}{dx}=1

du=dx

2\int_{}^{}\frac{u-3}{u}du

2\int_{}^{}1-\frac{3}{u}du

2\left[u-3Lnu \right]+C

Logo:

2\left[\left(x+3 \right)-3Ln(x+3) \right]+C

Mas a resposta é:

2\left[x-3Ln\left(x+3 \right) \right]+c

Onde está meu erro?
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Re: Integral por substituição.

Mensagempor Russman » Ter Ago 20, 2013 13:51

Sua resposta está certa! Veja que a constante C que surge no processo de integração é arbitrária. Isto é, pode ser qualquer uma. Assim, quando você efetua a multiplicação 2.3 na sua resposta obtém o restante da função somado a um valor constante 6 que é absorvido pela própria constante C. Veja que isso só se pode fazer quando a constante for arbitrária.
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Re: Integral por substituição.

Mensagempor Sobreira » Ter Ago 20, 2013 16:45

Deixa eu ver se entendi.
Na verdade ficaria 6+C, que resulta em outra C ??
Com relação a constante arbitrária significa que quando eu encontro uma solução que serve para uma família de funções esta constante pode ser arbitrária, enquanto que quando eu determino a constante eu estou determinando uma função específica?
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Re: Integral por substituição.

Mensagempor Russman » Ter Ago 20, 2013 17:21

SIm, 6+c é tão arbitrário quanto c.

Exatamente. Existe toda uma família de funções que quando derivadas resultam no integrando que você integrou. Isso se deve basicamente ao fato de que a derivada da função constante é nula e precisamos levar isso em conta. Assim, a constante que aparece representa essa propriedade e pode gerar não uma mas infinitas soluções para o mesmo problema de forma que a definimos como arbitrária.
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Re: Integral por substituição.

Mensagempor Sobreira » Ter Ago 20, 2013 17:43

Muito Obrigado!!
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Re: Integral por substituição.

Mensagempor Sobreira » Qua Ago 21, 2013 12:23

Tratando ainda a respeito da questão de constantes, tenho esta dúvida:
Tendo por exemplo a seguinte equação diferencial:

\frac{dy}{dx}=x\sqrt[]{y}

Resolvendo esta equação eu encontro como resposta uma família de funções:

y={\left(\frac{{x}^{2}}{4} +C\right)}^{2}

Logo, eu entendo que se eu determinar qualquer valor para a constante, esta função com esta constante será solução da equação diferencial. Ou seja se eu determino 0 para constante:

y'=\frac{{4x}^{3}}{16}=\frac{{x}^{3}}{4}

\frac{{x}^{3}}{4}=x\sqrt[]{\frac{{x}^{4}}{16}}

Ou seja, esta função com esta constante é solução da E.D.O.

Entretanto se atribuo C=3 por exemplo:

\frac{{x}^{3}}{4}=x\sqrt[]{\frac{{x}^{4}}{16}+9}

Ou seja, esta função está dentro da família de soluções encontradas mas utilizando esta constante a equação não é satisfeita.
Onde estou errado?
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?