Integral por substituição.

por **Sobreira** » Ter Ago 20, 2013 08:56

Tenho que resolver a seguinte integral:

$\int_{}^{}\frac{2x}{\left(x+3 \right)}dx$

Tentei resolver por substituição. Sei que posso resolver somando e diminuindo três no numerador para separar o denominador e ficar com $1-\frac{3}{\left(x+3 \right)}$ .

Mas resolvendo por substituição:

u=x+3

x=u-3

$\frac{du}{dx}=1$

du=dx

$2\int_{}^{}\frac{u-3}{u}du$

$2\int_{}^{}1-\frac{3}{u}du$

$2\left[u-3Lnu \right]+C$

Logo:

$2\left[\left(x+3 \right)-3Ln(x+3) \right]+C$

Mas a resposta é:

$2\left[x-3Ln\left(x+3 \right) \right]+c$

Onde está meu erro?

por **Russman** » Ter Ago 20, 2013 13:51

Sua resposta está certa! Veja que a constante

que surge no processo de integração é arbitrária. Isto é, pode ser qualquer uma. Assim, quando você efetua a multiplicação 2.3

na sua resposta obtém o restante da função somado a um valor constante

que é absorvido pela própria constante

. Veja que isso só se pode fazer quando a constante for arbitrária.

por **Sobreira** » Ter Ago 20, 2013 16:45

Deixa eu ver se entendi.
Na verdade ficaria 6+C, que resulta em outra C ??
Com relação a constante arbitrária significa que quando eu encontro uma solução que serve para uma família de funções esta constante pode ser arbitrária, enquanto que quando eu determino a constante eu estou determinando uma função específica?

por **Russman** » Ter Ago 20, 2013 17:21

SIm,

é tão arbitrário quanto

.

Exatamente. Existe toda uma família de funções que quando derivadas resultam no integrando que você integrou. Isso se deve basicamente ao fato de que a derivada da função constante é nula e precisamos levar isso em conta. Assim, a constante que aparece representa essa propriedade e pode gerar não uma mas infinitas soluções para o mesmo problema de forma que a definimos como arbitrária.

por **Sobreira** » Ter Ago 20, 2013 17:43

Muito Obrigado!!

por **Sobreira** » Qua Ago 21, 2013 12:23

Tratando ainda a respeito da questão de constantes, tenho esta dúvida:
Tendo por exemplo a seguinte equação diferencial:

$\frac{dy}{dx}=x\sqrt[]{y}$

Resolvendo esta equação eu encontro como resposta uma família de funções:

$y={\left(\frac{{x}^{2}}{4} +C\right)}^{2}$

Logo, eu entendo que se eu determinar qualquer valor para a constante, esta função com esta constante será solução da equação diferencial. Ou seja se eu determino 0 para constante:

$y'=\frac{{4x}^{3}}{16}=\frac{{x}^{3}}{4}$

$\frac{{x}^{3}}{4}=x\sqrt[]{\frac{{x}^{4}}{16}}$

Ou seja, esta função com esta constante é solução da E.D.O.

Entretanto se atribuo C=3 por exemplo:

$\frac{{x}^{3}}{4}=x\sqrt[]{\frac{{x}^{4}}{16}+9}$

Ou seja, esta função está dentro da família de soluções encontradas mas utilizando esta constante a equação não é satisfeita.
Onde estou errado?