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Cálculo

Cálculo

Mensagempor marinalcd » Sex Abr 19, 2013 11:48

Não estou conseguindo resolver este problema:

Seja S a superfície da esfera x²+y²+z²=a², situada no interior do cilindro x²+y² = ay, com a > 0. Determine o valor de a de modo que A(S)= 18(\Pi-2) unidades de área.
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Re: Cálculo

Mensagempor young_jedi » Sex Abr 19, 2013 16:15

a integral de superficie da esfera é dada por

\int\int R^2cos(\phi)d\theta d\phi

então voce tem que determinar os limites de integração, temos que
R=a

x=acos(\phi)cos(\theta)

x=acos(\phi)sen(\theta)

substituindo na equação do cilindro temos

a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)+a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)=a^2cos(\phi)cos(\theta)

a^2cos^2(\phi)=a^2cos(\phi)cos(\theta)

cos(\phi)=cos(\theta)

\phi=\theta

então a integral fica

2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\phi}^{\phi} a^2cos(\phi)d\theta d\phi

tente resolver a integral e comente as duvidas
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Re: Cálculo

Mensagempor marinalcd » Sex Abr 19, 2013 16:42

Obrigada pelo auxílio!

Seguindo o seu raciocínio, estou resolvendo aqui, mas na hora de substituir na equação do cilindro o meu resultado deu diferente.
Acho que você só substituiu o valor de x. ...
Agora vou tentar resolver a integral!

Valeu!
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Re: Cálculo

Mensagempor young_jedi » Sex Abr 19, 2013 18:00

é verdade, na realidade eu substitui errado o valor de y

seria

a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)+a^2cos^2(\phi)sen^2(\theta)=a^2cos(\phi)sen(\theta)

a^2cos^2(\phi)=a^2cos(\phi)sen(\theta)

cos(\phi)=sen(\theta)

cos(\phi)=cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)

então

\phi=\theta-\frac{\pi}{2}

\theta=\phi+\frac{\phi}{2}

portanto a integral fica

2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\phi-\frac{\pi}{2}}^{\phi+\frac{\pi}{2}}a^2cos(\phi)d\theta d\phi
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Re: Cálculo

Mensagempor marinalcd » Seg Abr 22, 2013 20:32

Olá! Consegui fazer até a substituição na equação do cilindro e cheguei em:

cos\phi = sen\Theta

Mas não entendi como você determinou os limites de integração. Não consegui sair dessa relação.
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Re: Cálculo

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 23, 2013 11:19

então utilizando aqulea relação de seno e cosseno que eu coloquei voce chega em

\theta=\phi+\frac{\pi}{2}

como se trata de um cilindro, pela simetria circular dele agente tem então que -\phi-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\phi+\frac{\pi}{2}

o o angulo \phi se determina pelo limite da esfera
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Re: Cálculo

Mensagempor marinalcd » Qua Abr 24, 2013 14:14

Eu costumo colocar o \theta determinado pelo limite da esfera.

Aí, para achar o \phi eu calculei o seno de teta (com os limites da esfera) e calculei a inversa do cossseno, encontrando assim os limites de \phi.

Pode ser assim? Pois deu diferente do seu, logo a integral dará diferente.
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Re: Cálculo

Mensagempor young_jedi » Qua Abr 24, 2013 14:42

a integral vai ser diferente, mais o valor final tem que ser igual
de qualquer forma faça do jeito que ficar mais facil pra voce visualizar os limites
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Re: Cálculo

Mensagempor marinalcd » Qua Abr 24, 2013 14:47

Só uma última coisa: na minha integral não aparece esse 2 multiplicando. Como você achou?
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Re: Cálculo

Mensagempor young_jedi » Qua Abr 24, 2013 14:49

esse 2 é porque essa integral é so para a parte de cima da esfera mais o cilindro corta a esfera na parte de baixo tambem sendo a area das duas partes identicas portanto multipliquei por 2
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Re: Cálculo

Mensagempor marinalcd » Sex Abr 26, 2013 18:00

Meu professor falou que deveria utilizar a variação de teta: 0\leq\theta\leq\pi

E que deveria por coordenadas esféricas a equação da interseção para encontrar a variação de \phi, que dependerá de \theta.

Mas ao substituir na equação, cheguei na seguinte relação:
cos^{2}\phi = 1- cos\phi.sen\theta

E não consegui determinar a variação de \phi.
Não sei se fiz errado, mas não consegui chegar nessa variação que você chegou.
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Re: Cálculo

Mensagempor young_jedi » Sex Abr 26, 2013 18:19

eu não entendi como voce chegou nesta relação
de qualquer forma voce pode fazer a integral para

0<\theta<\pi

e

-\theta+\frac{\pi}{2}<\phi<\theta-\frac{\pi}{2}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}