Cálculo

por **marinalcd** » Sex Abr 19, 2013 11:48

Não estou conseguindo resolver este problema:

Seja S a superfície da esfera x²+y²+z²=a², situada no interior do cilindro x²+y² = ay, com a > 0. Determine o valor de a de modo que $A(S)= 18(\Pi-2)$ unidades de área.

por **young_jedi** » Sex Abr 19, 2013 16:15

a integral de superficie da esfera é dada por

$\int\int R^2cos(\phi)d\theta d\phi$

então voce tem que determinar os limites de integração, temos que
R=a

$x=acos(\phi)cos(\theta)$

$x=acos(\phi)sen(\theta)$

substituindo na equação do cilindro temos

$a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)+a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)=a^2cos(\phi)cos(\theta)$

$a^2cos^2(\phi)=a^2cos(\phi)cos(\theta)$

$cos(\phi)=cos(\theta)$

$\phi=\theta$

então a integral fica

$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\phi}^{\phi} a^2cos(\phi)d\theta d\phi$

tente resolver a integral e comente as duvidas

por **marinalcd** » Sex Abr 19, 2013 16:42

Obrigada pelo auxílio!

Seguindo o seu raciocínio, estou resolvendo aqui, mas na hora de substituir na equação do cilindro o meu resultado deu diferente.
Acho que você só substituiu o valor de x. ...
Agora vou tentar resolver a integral!

Valeu!

por **young_jedi** » Sex Abr 19, 2013 18:00

é verdade, na realidade eu substitui errado o valor de y

seria

$a^2cos^2(\phi)cos^2(\theta)+a^2cos^2(\phi)sen^2(\theta)=a^2cos(\phi)sen(\theta)$

$a^2cos^2(\phi)=a^2cos(\phi)sen(\theta)$

$cos(\phi)=sen(\theta)$

$cos(\phi)=cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$

então

$\phi=\theta-\frac{\pi}{2}$

$\theta=\phi+\frac{\phi}{2}$

portanto a integral fica

$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{-\phi-\frac{\pi}{2}}^{\phi+\frac{\pi}{2}}a^2cos(\phi)d\theta d\phi$

por **marinalcd** » Seg Abr 22, 2013 20:32

Olá! Consegui fazer até a substituição na equação do cilindro e cheguei em:

$cos\phi = sen\Theta$

Mas não entendi como você determinou os limites de integração. Não consegui sair dessa relação.

por **young_jedi** » Ter Abr 23, 2013 11:19

então utilizando aqulea relação de seno e cosseno que eu coloquei voce chega em

$\theta=\phi+\frac{\pi}{2}$

como se trata de um cilindro, pela simetria circular dele agente tem então que $-\phi-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\phi+\frac{\pi}{2}$

o o angulo $\phi$ se determina pelo limite da esfera

por **marinalcd** » Qua Abr 24, 2013 14:14

Eu costumo colocar o $\theta$ determinado pelo limite da esfera.

Aí, para achar o $\phi$ eu calculei o seno de teta (com os limites da esfera) e calculei a inversa do cossseno, encontrando assim os limites de $\phi$ .

Pode ser assim? Pois deu diferente do seu, logo a integral dará diferente.

por **young_jedi** » Qua Abr 24, 2013 14:42

a integral vai ser diferente, mais o valor final tem que ser igual
de qualquer forma faça do jeito que ficar mais facil pra voce visualizar os limites

por **marinalcd** » Qua Abr 24, 2013 14:47

Só uma última coisa: na minha integral não aparece esse 2 multiplicando. Como você achou?

por **young_jedi** » Qua Abr 24, 2013 14:49

esse 2 é porque essa integral é so para a parte de cima da esfera mais o cilindro corta a esfera na parte de baixo tambem sendo a area das duas partes identicas portanto multipliquei por 2

por **marinalcd** » Sex Abr 26, 2013 18:00

Meu professor falou que deveria utilizar a variação de teta: $0\leq\theta\leq\pi$

E que deveria por coordenadas esféricas a equação da interseção para encontrar a variação de $\phi$ , que dependerá de $\theta$ .

Mas ao substituir na equação, cheguei na seguinte relação:
$cos^{2}\phi = 1- cos\phi.sen\theta$

E não consegui determinar a variação de \phi.
Não sei se fiz errado, mas não consegui chegar nessa variação que você chegou.

por **young_jedi** » Sex Abr 26, 2013 18:19

eu não entendi como voce chegou nesta relação
de qualquer forma voce pode fazer a integral para

$0<\theta<\pi$

e

$-\theta+\frac{\pi}{2}<\phi<\theta-\frac{\pi}{2}$

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