(ITA-SP) Elementos da diagonal principal do inverso

por **Carolziiinhaaah** » Qua Jun 23, 2010 18:15

Sejam as matrizes reais de ordem 2,

$A= \begin{pmatrix} 2+a & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & 2 + a \end{pmatrix}$

então, a soma dos elementos da diagonal principal de (AB)^-1

é igual a:

gabarito: 1/4 (5+2a+a^2)

Então, eu achei oq está dentro do parênteses como resposta.. não entendi o porquê do "1/4"
alguém pode fazer pra mim? obrigada

por **Douglasm** » Qua Jun 23, 2010 18:59

Olá Carolzinha. Essa dá um pouco de trabalho, mas vamos lá. Primeiramente façamos o produto AB (eu vou passar batido pelas contas mais básicas, para evitar fazer um post imenso):

$AB = \begin{pmatrix} (2+a+a^2) & (2+3a+a^2) \\ (1+a) & (3+a)\end{pmatrix}$

Sabemos que a inversa é igual a:

$(AB)^{-1} = \frac{1}{det\;AB} . (AB')^{t}$

$(AB')^{t} = \mbox{transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta)}$

Vamos calcular de uma vez o det AB:

$det AB = (2+a+a^2)\;.\;[(1+a) + 2]\; - \; [(2+a+a^2) + 2a]\;.\;(1+a) = 4+2a+2a^2 - 2a - 2a^2 = 4$

Agora vamos à matriz dos cofatores:

$AB' = \begin{pmatrix} (3+a) & -(1+a) \\ -(2+3a+a^2) & (2+a+a^2) \end{pmatrix}$

Fazendo a transposta desta, chegamos a adjunta:

$(AB')^{t} = \begin{pmatrix} (3+a) & - (2+3a+a^2) \\ -(1+a) & (2+a+a^2) \end{pmatrix}$

Finalmente chegamos a inversa:

$AB^{-1} = \frac{1}{4} \; . \; \begin{pmatrix} (3+a) & - (2+3a+a^2) \\ -(1+a) & (2+a+a^2) \end{pmatrix}$

Deste modo, a soma dos elementos da diagonal principal é:

$S = \frac{5 + 2a + a^2}{4}$

E é isso ai. Até a próxima.