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[Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação linear

[Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação linear

Mensagempor Ronaldobb » Dom Mai 11, 2014 14:40

Por favor, gostaria de ajuda com este exercícios:

1) Descreva o conjunto dos vetores w que são ortogonais a v=(2,1,2) e que u=(1,1,-1) seja combinação linear de v e w.

Eu tentei resolver desse jeito:

Sejam S={v1,v2,v3} Então S={(a,b,c),(2,1,2),(1,1,-1)}

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v1.v3=(a,b,c).(1,1,-1)=a+b-c=0
v1.v2=(a,b,c).(2,1,2)=2a+b+2c=0
v1.v3=(2,1,2).(1,1,-1)=2+1-2=0

a+b-c=0
2a+b+2c=0
2+1-2=0

Só consegui ir até aí ...
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Re: [Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação li

Mensagempor Russman » Dom Mai 11, 2014 16:22

Eu acho q você entendeu errado. Eu entendi que os vetores w têm de ser perpendiculares somente a v. E, ainda, têm de ser tais que seja possível escrever o u como CL destes com v.

De

Ronaldobb escreveu:vetores w que são ortogonais a v=(2,1,2)


obtemos \overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}=0.

De

Ronaldobb escreveu:e que u=(1,1,-1) seja combinação linear de v e w.


obtemos que devem existir números a,b \in \mathbb{R} tais que

\overrightarrow{u}=a \overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}.

Multiplicando a última relação escalarmente por \overrightarrow{v} somos capazes de calcular a.Note que

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=a \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}+b\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}\Rightarrow \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=av^2+0=av^2

Ou seja, a= \frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}.

Agora, substituindo esse resultado, vem que

\overrightarrow{u}=\left ( \frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}  \right )\overrightarrow{v}+b \overrightarrow{w}\Rightarrow \overrightarrow{w}= \frac{\overrightarrow{u}}{b}- \frac{1}{b}\left ( \frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}  \right )\overrightarrow{v}

para qualquer que seja b \in \mathbb{R} . Daí, podemos tomar c \in \mathbb{R} tal que cb=1 e descrever o conjunto como

\left \{ \overrightarrow{w} \in \mathbb{R}^3 \ |\ \overrightarrow{w}=c \left (\overrightarrow{u}- \left ( \frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2}  \right )\overrightarrow{v}  \right ),c \in \mathbb{R}\  \right \}
Editado pela última vez por Russman em Dom Mai 11, 2014 22:20, em um total de 2 vezes.
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Re: [Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação li

Mensagempor Ronaldobb » Dom Mai 11, 2014 21:06

Bom, ... não entendi nada na sua resposta.

A resposta do livro é esta: "É o conjunto dos vetores ?(7,8,-11), com ?\neq\neq0
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Re: [Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação li

Mensagempor Ronaldobb » Dom Mai 11, 2014 21:07

Bom, ... não entendi nada na sua resposta.

A resposta do livro é esta: "É o conjunto dos vetores ?(7,8,-11), com ?\neq0
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Re: [Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação li

Mensagempor Russman » Dom Mai 11, 2014 21:24

Ah, então parece estar certo.

Note que

\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2} = \frac{2+1-2}{9}=\frac{1}{9}.

Daí,

\overrightarrow{u}-\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{v^2} \overrightarrow{v} = (1,1,-1)-\frac{1}{9}(2,1,2)=\left ( \frac{7}{9},\frac{8}{9},-\frac{11}{9} \right ).

Já que \overrightarrow{w} é múltiplo de \left ( \frac{7}{9},\frac{8}{9},-\frac{11}{9} \right ) e \left ( \frac{7}{9},\frac{8}{9},-\frac{11}{9} \right ) é múltiplo de \left ( 7,8,-11 \right ), então
\overrightarrow{w} é múltiplo de \left ( 7,8,-11 \right ).

O que você não entendeu? Está familiarizado com produto escalar?
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Re: [Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação li

Mensagempor Ronaldobb » Dom Mai 11, 2014 22:18

Você aplicou a fórmula da normalização? E o vetor w? O que fez com ele?
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Re: [Geometria Analítica] Vetores ortogonais e combinação li

Mensagempor Russman » Dom Mai 11, 2014 22:29

No primeiro resultado(onde calculei o a) eu simplesmente multipliquei o vetor u escrito como combinação linear(CL) de v e w escalarmente por v. Na primeira parcela teremos o produto escalar de v por ele mesmo. Isto é exatamente o quadrado de seu módulo. Na segunda parcela, já que v e w são perpendiculares, teremos zero, já que o produto escalar de v por w é nulo! Uma vez calculado o a ( note q ele depende apenas de quantidades conhecidas) podemos substituir este resultado na expressão que calcula u como CL de v e w. Assim, já que a única quantidade desconhecida é a de interesse, ou seja, w, podemos isolá-lo. O fato de ele vir multiplicado por um número real na expressão(que é de se esperar, já que a mesma é menção de uma CL) indica que não somente o vetor w que está sendo calculado, mas, sim, todo um conjunto tal que cada um de seus elementos é um vetor que é múltiplo de w.

Mais claro agora?
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}