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Equação diferencial

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Equação diferencial

por Crist » Qua Jan 15, 2014 16:08

Alguem poderia me ajudar a resolver a equação diferencial por separação de variáveis, já estou exausta de tanto tentar e não consigo.
y´= y - x
y(0) = 2

R.: y = x + e^x + 1

Crist: Usuário Dedicado; Mensagens: 45; Registrado em: Qua Out 24, 2012 16:47; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Matemática; Andamento: cursando

Re: Equação diferencial

por Man Utd » Ter Jan 28, 2014 16:34

Olá

Dada uma equação diferencial do tipo y'+P(x)y=f(x)

y'+P(x)y=f(x)

temos que usar o método do fator integrante : $e^{\int \; P(x) \; dx}=e^{-x}$

multiplique toda a equação por $e^{-x}$ :

$e^{-x}*y'-e^{-x}*y=-e^{-x}*x$

$\frac{d \left(e^{x-}*y \right) }{dx}=-e^{x}*x$

integre os dois lados em relação a x:

$e^{-x}*y=\int \; -e^{x}*x \; dx$

Avance....

Editado pela última vez por Man Utd em Ter Jan 28, 2014 19:49, em um total de 1 vez.

Man Utd: Colaborador Voluntário; Mensagens: 155; Registrado em: Qua Abr 03, 2013 09:20; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia da Computação; Andamento: cursando

Re: Equação diferencial

por Russman » Ter Jan 28, 2014 18:29

Ou você pode resolver utilizando o método de supor uma solução. Veja que a equação é da forma
y' + k.y = f(x)

y' + k.y = f(x)

de onde, sendo y_1(x)

y_1(x)

a solução de y'-y=0

y'-y=0

e

y_2(x)

a solução de y'-y=-x

y'-y=-x

, temos a solução de y'-y=-x

y'-y=-x

como sendo y_1(x) + y_2(x)

y_1(x) + y_2(x)

.

Supondo $y_1(x) = c e^{ax}$ , temos

$cae^{ax} - ce^{ax} = 0$
$ce^{ax} ( a - 1) = 0$
a=1

a=1

,

portanto, $y_1(x) = c.e^{x}$ .

Agora, supondo y_2(x) = ax+b

y_2(x) = ax+b

como sendo polinomial ( já que f(x) o é) de 1° grau, temos

a - ax-b = - x

a - ax-b = - x

(a-b) -ax = -x

a-b = 0

-a = -1

de onde chegamos em a=1

a=1

e

b=1

.

Assim, a solução é y(x) = ce^x + x+1

y(x) = ce^x + x+1

onde determinamos

utilizando y(0) = 2

y(0) = 2

.

y(0) = c+1 = 2

c = 1

A solução é, portanto, y(x) = e^x + x +1

y(x) = e^x + x +1

.

"Ad astra per aspera."

Russman: Colaborador Voluntário; Mensagens: 1183; Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06; Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO; Área/Curso: Física; Andamento: formado

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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de $\frac{4\pi{r}^{2}}{3}$
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é $1,066\pi$

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

$V = \frac{4\pi}{3}r^2$

Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

$\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}$

Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

$\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}$

$\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}$

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