Equação diferencial

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Mensagempor Crist » Qua Jan 15, 2014 16:08

Alguem poderia me ajudar a resolver a equação diferencial por separação de variáveis, já estou exausta de tanto tentar e não consigo.
y´= y - x
y(0) = 2

R.: y = x + e^x + 1
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Re: Equação diferencial

Mensagempor Man Utd » Ter Jan 28, 2014 16:34

Olá :)

Dada uma equação diferencial do tipo y'+P(x)y=f(x) temos que usar o método do fator integrante : e^{\int \; P(x) \; dx}=e^{-x}


multiplique toda a equação por e^{-x} :


e^{-x}*y'-e^{-x}*y=-e^{-x}*x


\frac{d \left(e^{x-}*y \right) }{dx}=-e^{x}*x


integre os dois lados em relação a x:


e^{-x}*y=\int \; -e^{x}*x \; dx


Avance....
Editado pela última vez por Man Utd em Ter Jan 28, 2014 19:49, em um total de 1 vez.
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Re: Equação diferencial

Mensagempor Russman » Ter Jan 28, 2014 18:29

Ou você pode resolver utilizando o método de supor uma solução. Veja que a equação é da forma
y' + k.y = f(x) de onde, sendo y_1(x) a solução de y'-y=0 e y_2(x) a solução de y'-y=-x, temos a solução de y'-y=-x como sendo y_1(x) + y_2(x).

Supondo y_1(x) = c e^{ax}, temos

cae^{ax} - ce^{ax} = 0
ce^{ax} ( a - 1) = 0
a=1,

portanto, y_1(x) = c.e^{x}.

Agora, supondo y_2(x) = ax+b como sendo polinomial ( já que f(x) o é) de 1° grau, temos

a - ax-b = - x
(a-b) -ax = -x
a-b = 0
-a = -1

de onde chegamos em a=1 e b=1.

Assim, a solução é y(x) = ce^x + x+1 onde determinamos c utilizando y(0) = 2.

y(0) = c+1 = 2
c = 1

A solução é, portanto, y(x) = e^x + x +1.
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Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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