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Limite(Prove)

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Mensagempor Man Utd » Ter Abr 30, 2013 21:53

Seja ƒ uma função definida num intervalo aberto Ie p ? I.Suponha que f(x)\leq f(p) para todo x ? I.Prove que \lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}=0 desde que o limite exista.

(Sugestão: estude os sinais de \lim_{x\rightarrow p+}\frac{f(x)-f(p)}{x-p} e de\lim_{x\rightarrow p-}\frac{f(x)-f(p)}{x-p} )
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Re: Limite(Prove)

Mensagempor e8group » Qua Mai 01, 2013 00:38

Note que \forall x \in I ,   f(x) - f(p) \leq 0 .

Daí ,

\lim_{x\to p^- } \frac{ f(x) - f(p) }{x-p} \geq 0

e

\lim_{x\to p^+ } \frac{ f(x) - f(p) }{x-p} \leq 0

Para concluir observe que o limite existe quando os limites laterais existam e são iguais .
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Re: Limite(Prove)

Mensagempor Man Utd » Qua Mai 01, 2013 11:43

agora entendi,então eu provo que o limite não existe já que os limites laterais diferem.

Muito Obrigado Santhiago e um bom feriado. :)
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Re: Limite(Prove)

Mensagempor e8group » Qua Mai 01, 2013 13:39

Para ficar mais claro ,tomemos L_1 = \lim_{x\to p^+} \frac{f(x) - f(p)}{x-p} e L_2 = \lim_{x\to p^-} \frac{f(x) - f(p)}{x-p} . Como f(x) - f(p) \leq 0 para todo x em I e x-p > 0 (x-p < 0) quando x\to p^+ (x\to p^-) concluímos que L_1 \leq 0 e L_2 \geq 0 .Ou seja , L_1 \in (-\infty,0] e L_2 \in [0,+\infty) . Desde que o limite exista ,obrigatoriamente L_1 = L_2 .

Assim ,

L_1 = L_2 \implies L_1 \in (-\infty,0] \wedge L_1\in [0,+\infty) ,L_2 \in (-\infty,0] \wedge L_2\in [0,+\infty)  \iff  L_1 \in (-\infty,0]\cap [0,+\infty) = \{0\} , L_2 \in (-\infty,0]\cap [0,+\infty) = \{0\} .

Ou seja ,

L_1 = L_2 \implies    L_1, L_2   \in \{0\} .

Daí ,

L_1 = L_2 = 0 .

E portanto ,para que o limite exista, há uma única possibilidade ,ele ser igual a zero .

Obrigado ,bom feriado também .
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)