Quadrilátero e ângulos

por **Lana Brasil** » Qua Abr 17, 2013 16:30

Boa Tarde.

Imagem

Não consegui fazer esse exercício. Como uso o valor do ângulo para chegar no resultado?
Tentei usando que é um quadrilátero então são dois a dois iguais, está errado?
A resposta é "raíz de 7"
Obrigada pela ajuda.

por **e8group** » Qua Abr 17, 2013 17:34

Observe o triângulo retânguloBCD ,por Pitágoras ,segue $BD^2 = BC^2 + CD^2 \therefore BD = \sqrt{1 + 3} = 2$ .Por relações trigonométricas é fácil verificar que o segmento

é perpendicular a

e portanto o triângulo ABD

também é retângulo .Assim ,novamente pelo teorema de Pitágoras ,ele nos fornece que AD^2 = AB^2 + BD^2 = 3 + 4 = 7

;logo concluímos $AD = \sqrt{7}$ .

por **Lana Brasil** » Qua Abr 17, 2013 19:22

santhiago escreveu:Observe o triângulo retânguloBCD ,por Pitágoras ,segue $BD^2 = BC^2 + CD^2 \therefore BD = \sqrt{1 + 3} = 2$ .Por relações trigonométricas é fácil verificar que o segmento é perpendicular a e portanto o triângulo também é retângulo .Assim ,novamente pelo teorema de Pitágoras ,ele nos fornece que ;logo concluímos $AD = \sqrt{7}$ .

Obrigada pela ajuda mas meu principal problema é como provar por relações trigonométricas que ele é retângulo. Ainda não aprendi seno, cosseno e tangente.

por **e8group** » Qui Abr 18, 2013 12:43

Definimos as relações trigonométricas (seno e cosseno) em um triângulo ABC que é retângulo em C da seguinte forma :

Considere :

$B\hat{C}A = 90^{\circ} , C\hat{A}B = \theta , C\hat{A}B = \theta , A\hat{B}C =\gamma$ com $\theta$ e $\gamma$ ângulos agudos (menores que 90°) tais que $(**) \gamma + \theta = 90^{\circ}$ .

Temos :

$sin(\gamma) = \frac{CO}{hip} = \frac{AC}{AB}$

$cos(\gamma) = \frac{CA}{hip} = \frac{AC}{AB}$

$sin(\theta) = \frac{CO}{hip} = \frac{BC}{AB}$

$cos(\theta) = \frac{CA}{hip} = \frac{AC}{AB}$

Onde :

: Cateto oposto (em relação ao ângulo)

: Cateto adjacente (em relação ao ângulo)

hip

: Hipotenusa (oposto ao ângulo reto)

OBS.: Uma vez que você não aprendeu ainda sobre seno e cosseno ,não vou falar sobre tangente .Além da função chamada tangente ,há outras três que são cotangente ,secante e cossecante .Não se preocupe ,todas elas estão relacionadas com seno e cosseno .

Para mostramos que o triângulo ABD é retângulo .Deveremos mostrar que dois de seus ângulos são agudos e satisfaçam (**)

(Veja lá) e que um deles é reto ( $90^{\cric}$ .) .Para esta questão,se mostrarmos que o ângulo $E\hat{B}D$ vale $30^{\circ}$ poderemos concluir que $A\hat{B}D = 90^{\circ}$ uma vez que $A\hat{B}D = 60^{\circ} + E\hat{B}D$ .Bom ,é isto que vamos fazer .Veja que $E\hat{B}D = 90^{\circ} - C\hat{B}D$ (Por quê ?) e que $sin(C\hat{B}D) = \frac{CO}{hip} =\frac{CD}{BD}$ .

Como foi dado que $CD =\sqrt{3}$ e no post anterior calculamos BD = 2

.Então ,

$sin(C\hat{B}D) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e portanto , $C\hat{B}D = 60^{\circ}$ .Lembrando que $E\hat{B}D = 90^{\circ} - C\hat{B}D$ ,resulta $E\hat{B}D = 30^{\circ}$ .Assim ,demonstramos que o ângulo $A\hat{B}D$ é reto.Além disso , $D\hat{A}B$ e $B\hat{D}A$ são ângulos agudos e $D\hat{A}B + B\hat{D}A = 90^{\circ}$ .Logo ,segue o resultado .

por **Lana Brasil** » Qui Abr 18, 2013 15:57

santhiago escreveu:Definimos as relações trigonométricas (seno e cosseno) em um triângulo ABC que é retângulo em C da seguinte forma :

Considere :

$B\hat{C}A = 90^{\circ} , C\hat{A}B = \theta , C\hat{A}B = \theta , A\hat{B}C =\gamma$ com $\theta$ e $\gamma$ ângulos agudos (menores que 90°) tais que $(**) \gamma + \theta = 90^{\circ}$ .

Temos :

$sin(\gamma) = \frac{CO}{hip} = \frac{AC}{AB}$

$cos(\gamma) = \frac{CA}{hip} = \frac{AC}{AB}$

$sin(\theta) = \frac{CO}{hip} = \frac{BC}{AB}$

$cos(\theta) = \frac{CA}{hip} = \frac{AC}{AB}$

Onde :

: Cateto oposto (em relação ao ângulo)

: Cateto adjacente (em relação ao ângulo)

: Hipotenusa (oposto ao ângulo reto)

OBS.: Uma vez que você não aprendeu ainda sobre seno e cosseno ,não vou falar sobre tangente .Além da função chamada tangente ,há outras três que são cotangente ,secante e cossecante .Não se preocupe ,todas elas estão relacionadas com seno e cosseno .

Para mostramos que o triângulo ABD é retângulo .Deveremos mostrar que dois de seus ângulos são agudos e satisfaçam (Veja lá) e que um deles é reto ( $90^{\cric}$ .) .Para esta questão,se mostrarmos que o ângulo $E\hat{B}D$ vale $30^{\circ}$ poderemos concluir que $A\hat{B}D = 90^{\circ}$ uma vez que $A\hat{B}D = 60^{\circ} + E\hat{B}D$ .Bom ,é isto que vamos fazer .Veja que $E\hat{B}D = 90^{\circ} - C\hat{B}D$ (Por quê ?) e que $sin(C\hat{B}D) = \frac{CO}{hip} =\frac{CD}{BD}$ .

Como foi dado que $CD =\sqrt{3}$ e no post anterior calculamos .Então ,

$sin(C\hat{B}D) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e portanto , $C\hat{B}D = 60^{\circ}$ .Lembrando que $E\hat{B}D = 90^{\circ} - C\hat{B}D$ ,resulta $E\hat{B}D = 30^{\circ}$ .Assim ,demonstramos que o ângulo $A\hat{B}D$ é reto.Além disso , $D\hat{A}B$ e $B\hat{D}A$ são ângulos agudos e $D\hat{A}B + B\hat{D}A = 90^{\circ}$ .Logo ,segue o resultado .

Santhiago adorei sua explicação, entendi tudo. Muito Obrigada.

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