Fatoração

por **Jaqueline Pimenta** » Qui Out 01, 2009 11:50

Bom dia,

Estou com dificuldades em um exercicio de fatoração, que por várias tentativas não consegui desenvolver! Ajudem-me, por favor!
Ex: Se x e y são números reais tais que x.y $\neq$ 0 e |x| $\neq$ |y|, a expressão
$\frac{{x}^{-8}-{y}^{-8}}{{x}^{-2}.{y}^{-2}.({x}^{-4}+{y}^{-4})}$ é equivalente a:

Tentativas:
1° - Fatorar o numerador ${x}^{-8}-{y}^{-8}$ como Diferença de quadrados, tranformando primeiro, o indice -8 em -4.2 resultando em $\frac{({x}^{-4}-{y}^{-4}).({x}^{-4}+{y}^{-4})}{{(xy)}^{-2}.({x}^{-4}+{y}^{-4})}$ . Em seguida cortei no numerador e no denominador a expressão $({x}^{-4}+{y}^{-4})$ , que resultou em $\frac{({x}^{-4}-{y}^{-4})}{{(xy)}^{-2}}$ . E a partir dai, não sei o que fazer, por ser uma subtração sobre uma multiplicação. E mesmo que eu faça outra fatoração como diferença de quadrados no numerador que ainda é possível, não sairia disso! :n:

2°- Desenvolver a multiplicação no denominador, para conseguir um fator comum ou até mesmo cancelar com o numerador. Mas não houve sucesso algum. :oops:

Dúvida: Gostaria de saber o que as informações x.y $\neq$ 0 e |x| $\neq$ |y|, aprensentadas no enunciado do exercicio, me acrescentam.

Desde já agradeço e parabenizo o site, acredito que será de boa importancia para os estudos.

Jaque Pimenta

por **Elcioschin** » Qui Out 01, 2009 17:59

Pimenta

Você tem a resposta ou as alternativas?

Sugestão para continuar

No numerador ----> x^-4 - y^-4 = (x^-2 + y^-2)*(x^-2 - y^-2) = (x^-2 + y^-2)*(1/x² - 1/y²) = (x^-2 + y^-2)*(y² - x²)/x²y²

No denominador ----> 1/x²y²

Ao dividir desaparece 1/x²y² e sobra ----> (x^-2 + y^-2)*(y² - x²) = (1/x² + 1/y²)*(y + x)*(y - x) = (y² + x²)*(y + x)*(y - x)*x²y²

Como você não postou a solução nem as alternativas, não sei se esta é a resposta final.

Quanto às tuas dúvidas sobre x, y diferentes de zero e |x! diferente de |y|:

Se x= o ou y = 0 ou x = - y ----> anula o denominador, o que não é permitido (divisão por zero).

por **Jaqueline Pimenta** » Qui Out 01, 2009 21:40

Oi Elcioschin :-D

Agradeço por responder!

Já tinha chegado a está resolução, mas não é a resposta. :n:

De acordo com o livro seria $\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y} \right).\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right)$ ou sem fatorar
${\left(\frac{y}{x}-\frac{x}{y} \right)}^{2}$

Eita, que adoro matemática. Mas este exercicio está me encabulando kkkk

Pretendo fazer Engenharia tbm!

por **Jaqueline Pimenta** » Sáb Out 03, 2009 19:53

MAIS ALGUÉM PRA AJUDAR??????? POR FAVOR!!! :oops:

por **Elcioschin** » Dom Out 04, 2009 21:02

Jaqueline

Vamos fazer desde o início, transformando os expoentes negativos em positivos, para facilitar:

V = (x^-8 - y^-8)/[(x*y)^-2](x^-4 + y^-4) -----> V = (1/x^8 - 1/y^8)/(1/x²*y²)*(1/x^4 + 1/y^4)

V = [(y^8 - x^8)/(x^8*y^8)]/(1/x²*y²)*[(y^4 + x^4)/^(y^4*x^4)]

Simplificando x^8*y^8 com x²*y² e com x^4*y^4 sobra:

V = (y^8 - x^8)/(x²*y²)*(y^4 + x^4) -----> Fatorando (y^8 - x^8):

V = (y^4 + x^4)*(y^4 - x^4)/(x²y²)*(y^4 + x^4) -----> V = (y^4 - x^4)/x²*y² ----> Expressão equivalente a sua, com expoentes positivos

V = y^4/x²*y² - x^4/x²*y² -----> V = y²/x² - x²/y² -----> Fatorando ----> V = (y/x - x/y)*(y/x + x/y) ----> Resposta do livro

Não concordo, contudo, com a última expressão da resposta " ou sem fatorar (y/x - x/y)² "

Este resultado NÃO é igual à primeira resposta correta do livro ----> (y/x - x/y)² = y²/x² + x²/y² - 2 ----> Compare com a resposta certa!!!!

Para estar certa deveria ser (y/x)² - (x/y)² = y²/x² - x²/y² = (y/x - x/y)*(y/x + x/y)

por **Jaqueline Pimenta** » Seg Out 05, 2009 12:05

Oi Elcioschin!
Agradeço pela resolução!!! :y:

Finalmente aprendi!!!
Depois de um ano sem estudar, perdi o jeito da coisa!! kk
As regras gerais sei de cor!
Porém não desenvolvo e complico com o mais básico; Adição, subtração, multiplicação e divisão, sinais e pequenos detalhes como o erro na ultima resposta que enviei.

Se tiver mais dicas, serão de bom agrado!!!

Grata,
Jaqueline

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