[Integral Definida] Está certa minha resolução?

por **Fabio Wanderley** » Seg Out 22, 2012 23:37

Olá,

segue a questão:

Seja f uma função par e contínua em [-r, r], r > 0. (Lembre-se: f par <--> f(- x) = f(x).)
Mostre que $\int_{-r}^{0}f(x) \ dx= \int_{0}^{r}f(x) \ dx$

Resolução:

u = - x
du = - dx

$x=-r \rightarrow u=r$
$x=0 \rightarrow u=0$

$\int_{-r}^{0}f(x) \ dx = -\int_{-r}^{0}f(x) \ (-dx)= -\int_{r}^{0}f(-u) \ du = \int_{0}^{r}f(-u) \ du$

Como f é uma função par:

$\int_{0}^{r}f(-u) \ du = \int_{0}^{r}f(u) \ du$

Mas, $\int_{0}^{r}f(u) \ du= \int_{0}^{r}f(x) \ dx$ , logo:

$\int_{-r}^{0}f(x) \ dx = \int_{0}^{r}f(x) \ dx$

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Alguém pode conferir se está certo, ou opinar sobre algo ou mesmo corrigir algum erro?

Tópico para referência: viewtopic.php?f=120&t=9975