[INTEGRAL INDEFINIDA] Qual será aSubstituição?

por **fabriel** » Sex Out 05, 2012 02:47

E ai Pessoal empaquei em uma aqui. É dada a Integral:
$\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt[]{1+\sqrt[3]{x}}}$
Então devo chamar:
$u=\sqrt[3]{x}$
então:
$du=\frac{1}{3\sqrt[3]{{x}^{2}}}dx$
só q fica complicado na hora da substituição
Então esta certo esse caminho?
ou devo fazer outro tipo de substituição??
obrigado!!

por **LuizAquino** » Sex Out 05, 2012 09:57

fabriel escreveu:E ai Pessoal empaquei em uma aqui. É dada a Integral:
$\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt[]{1+\sqrt[3]{x}}}$
Então devo chamar:
$u=\sqrt[3]{x}$
então:
$du=\frac{1}{3\sqrt[3]{{x}^{2}}}dx$
só q fica complicado na hora da substituição
Então esta certo esse caminho?
ou devo fazer outro tipo de substituição??

Use a substituição $u = 1 + \sqrt[3]{x}$ e $du = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\,dx$ .

Como você usou $u=1 + \sqrt[3]{x}$ , então você pode dizer que $(u - 1)^2 = \sqrt[3]{x^2}$ . Desse modo, você pode escrever que 3(u-1)^2 du = dx

.

Portanto, você terá que:

$\int\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt[3]{x}}}\,dx = \int\frac{3(u - 1)^2}{\sqrt{u}}\,du$

$= \int 3u^{\frac{3}{2}} - 6u^{\frac{1}{2}} + 3u^{-\frac{1}{2}}\,du$

Agora tente prosseguir a partir daí.

por **fabriel** » Sex Out 05, 2012 13:20

Obrigado Luiz, calculei aqui:
$\int_{}^{}{3u}^{\frac{3}{2}}-{6u}^{\frac{1}{2}}+{3u}^{-\frac{1}{2}}du=\frac{6}{5}{u}^{\frac{5}{2}}-\frac{12}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+2{u}^{\frac{1}{2}}+C$
desse tipo que está ai eu posso simplifica o resultado? Se não fica por isso mesmo:
$\frac{6}{5}\sqrt[]{1+{\sqrt[3]{x}}^{5}}-\frac{12}{3}\sqrt[]{1+{\sqrt[3]{x}}^{3}}+2\sqrt[]{1+\sqrt[3]{x}}+C$

por **LuizAquino** » Sex Out 05, 2012 15:23

fabriel escreveu:Obrigado Luiz, calculei aqui:
$\int_{}^{}{3u}^{\frac{3}{2}}-{6u}^{\frac{1}{2}}+{3u}^{-\frac{1}{2}}du=\frac{6}{5}{u}^{\frac{5}{2}}-\frac{12}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+2{u}^{\frac{1}{2}}+C$

Errado. O correto seria:

$\int {3u}^{\frac{3}{2}}-{6u}^{\frac{1}{2}}+{3u}^{-\frac{1}{2}}\,du=\frac{6}{5}{u}^{\frac{5}{2}}-4{u}^{\frac{3}{2}}+6{u}^{\frac{1}{2}}+C$

fabriel escreveu:desse tipo que está ai eu posso simplifica o resultado?

Não dá para simplificar muita coisa.

fabriel escreveu:Se não fica por isso mesmo:
$\frac{6}{5}\sqrt[]{1+{\sqrt[3]{x}}^{5}}-\frac{12}{3}\sqrt[]{1+{\sqrt[3]{x}}^{3}}+2\sqrt[]{1+\sqrt[3]{x}}+C$

Errado. O correto seria:

$\frac{6}{5}\sqrt{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^5} - 4\sqrt{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^3} + 6\sqrt{1+\sqrt[3]{x}} + C$

por **fabriel** » Sex Out 05, 2012 17:22

ha sim errei nesse detalhe, agora q fui ver:
$3\int_{}^{}{u}^{-\frac{1}{2}}du=3\left[{2u}^{\frac{1}{2}}+C1 \right]=6{u}^{\frac{1}{2}}+C1$
obrigado de novo!
Tenha um Bom fim de semana!