Plano

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 03:18

Determine a equação paramétrica da reta $\begin{cases} 2x+y-z=0 \\ x+y+z=1 \end{cases}$

Não sei achar, pois não tenho nenhum ponto da reta

por **MarceloFantini** » Ter Jul 17, 2012 03:42

Somando as duas equações temos 3x+2y=1

, daí $y = \frac{1-3x}{2}$ . Substituindo para z segue $z = 2x+y = \frac{4x+1-3x}{2} = \frac{1-x}{2}$ . Podemos adotar o parâmetro x=t

e portanto

$r: \begin{cases} x=t \\ y = \frac{1-3t}{2} \\ z = \frac{1-t}{2} \end{cases}$ .

Sugiro que você estude os conteúdos com o livro escrito pelo Reginaldo Santos, está disponível para download. Você deveria saber que a interseção de dois planos em $\mathbb{R}^3$ , quando não paralelos, é uma reta e assim resolver o sistema.

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 15:56

Na minha sala esse livro do Reginaldo Santos foi quase 90% que achou dificil de ser compreendido.
Na ocasião acima o z=x+1/2, o correto não seria assim?

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 16:05

No gabarito está diferente, pois adotou z=t
e substituindo a equação 1, quando acha o valor de y, quando substituir novamente para encontrar o valor de x, não consegue chegar a um resultado pois terá em uma equação duas incógnitas, sendo elas x e y.

por **MarceloFantini** » Ter Jul 17, 2012 16:16

A outra recomendação é o livro de geometria analítica por Paulo Boulos. Mais tranquilo que estes dois será quase impossível.

A propósito, sim: $z = \frac{4x-3x+1}{2} = \frac{x+1}{2}$ . Obrigado.

Não entendo o que quis dizer com "substituindo a equação 1" em diante. Para adotar o parâmetro z=t

basta escrever

e

em função de z.

Subtraia a primeira da segunda, vem $x-2x +y-y +z-(-z) = 1-0 \implies -x+2z=1 \implies x = 2z-1$ . Voltando na segunda temos

$x+y+z = (2z-1)+y+z = 3z-1+y=1 \implies y = 2-3z$ .

Adote z=t

e portanto

$\begin{array}{l} x = 2t-1, \\ y=2-3t, \\ z=t. \end{array}$

por **Claudin** » Ter Jul 17, 2012 18:22

Obrigado pela resposta.
:y:

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