[Derivada Parcial de 1ª Ordem] - Derivada parcial num ponto

por **Vitor2+** » Dom Jul 01, 2012 16:27

Olá, Boa Tarde!

Gostaria de um auxílio nesta questão. Necessito saber se tem alguma coisa errada no seu desenvolvimento ou se a respota está correta. Agradeço.

CALCULE, CASO EXISTA, AS DERIVADAS PARCIAIS DA FUNÇÃO $f(x,y)=x.cos(\frac{x}{y}+\pi)$ no ponto P(0,1)

DERIVADA EM FUNÇÃO DE X
$\frac{\partial f}{\partial x} = {x}^{,}.cos(\frac{x}{y}+\pi)+x.{cos(\frac{x}{y}+\pi)}^{,}=cos(\frac{x}{y}+\pi)+x.(-sen(\frac{x}{y}+\pi).\frac{1}{y}=cos(\frac{x}{y}+\pi)-\frac{x.sen(\frac{x}{y}+\pi)}{y}$

Substituindo pelos valores do ponto P(0,1), temos:
$\frac{\partial f}{\partial x} =cos(\frac{0}{1}+\pi)-\frac{0.sen(\frac{0}{1}+\pi)}{1}=cos(\pi)=0,9984\simeq1$

DERIVADA EM FUNÇÃO DE Y
$\frac{\partial f}{\partial y} = {x}^{,}.cos(\frac{x}{y}+\pi)+x.{cos(\frac{x}{y}+\pi)}^{,}=0.cos(\frac{x}{y}+\pi)+x.(-sen(\frac{x}{y}+\pi).\frac{-x}{{y}^{2}})=\frac{{x}^{2}.sen(\frac{x}{y}+\pi)}{{y}^{2}}$

Substituindo pelos valores do ponto P(0,1), temos:
$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{0}^{2}.sen(\frac{0}{1}+\pi)}{{1}^{2}}=0$

Sendo assim, a resposta é igual a P(1,0).

por **e8group** » Dom Jul 01, 2012 17:24

Vitor ,tudo bem ? Até agora só aprendi por conta própria derivadas com uma variável ,mas acredito que estar certo sim ,por derivação implícita orá em relação a x e y eu acho que você estar certo . Mas fica aí a dica ,conhece wolfram alpha ?

se não ! recomendo . localiza-se em http://www.wolframalpha.com .

Para este caso particular , só digitar d( x*(cos(x/y) +pi) )/d(x) e d( x*(cos(x/y) +pi) )/d(y) e depois só clicar em " show steps" para ver a solução .abraços!

por **e8group** » Dom Jul 01, 2012 18:05

Oops! Falei coisa errada .Não é derivação implícita.Em derivadas parciais as coisas são diferentes .orá derivando em relação a x y é considerado uma constante e derivando em relação a y x é uma constante .

Fonte : http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_parcial .

Desconsidere .

por **e8group** » Dom Jul 01, 2012 18:42

Vitor sua derivada parcial em relação a x estar correta .

Curiosidade ,Vale lembra também que :

$cos( \frac{x}{y} + \pi) = - cos (\frac{x}{y})$
$sin( \frac{x}{y} + \pi) = -sin (\frac{x}{y})$

Então :

$\frac{\partial }{\partial x}\left[xcos(\frac{x}{y}+\pi))\right] =\frac{\partial }{\partial x}\left[-xcos(\frac{x}{y})\right] = x\frac{sin(\frac{x}{y})}{y} -cos{(\frac{y}{x})} =-x\frac{sin(\frac{x}{y}+\pi)}{y} +cos{(\frac{y}{x}+\pi)}$

Mas $cos(\pi ) = -1$ se for em radianos . Não entendi porque 0,9984 ....

por **DanielFerreira** » Dom Jul 01, 2012 20:42

Vitor2+,
$\frac{\partial}{\partial y}f(0,1) = 0 . cos\left(\frac{x}{y} + \pi \right) - x . - sen\left(\frac{x}{y} + \pi \right).\left(\frac{0 . y - x . 1}{y^2} \right)$

$\frac{\partial}{\partial y}f(0,1) = x . sen\left(\frac{x}{y} + \pi \right).\left(\frac{- x}{y^2} \right)$

$\frac{\partial}{\partial y}f(0,1) = sen\left(\frac{x}{y} + \pi \right).\frac{- x^2}{y^2}$

$\frac{\partial}{\partial y}f(0,1) = 0$

Como pode notar, o equívoco foi apenas no sinal!!

por **Vitor2+** » Dom Jul 01, 2012 23:36

Caro Santhiago, agradeço pela dica. Estou utilizando o site sim, graças a vocês. Tem me ajudado bastante. Porém, gosto de tentar fazer antes de tentar fazer no site. No entanto, sempre fico na neura se a resposta está certa ou não.

Quanto a " $cos(\pi ) = -1$ se for em radianos . Não entendi porque 0,9984 ....", quando coloquei na calculadora o $cos(\pi)$ , ele me retornou esse resultado. Também fiquei sem saber, porque o site indicou -1 e não 0,9948, como na calculadora. Agora estou sem saber se o resultado é -1 ou 0,9948.

Danjr5, valeu pela dica e pelo toque do sinal.

Agradeço.

santhiago escreveu:Vitor sua derivada parcial em relação a x estar correta .

Curiosidade ,Vale lembra também que :

$cos( \frac{x}{y} + \pi) = - cos (\frac{x}{y})$
$sin( \frac{x}{y} + \pi) = -sin (\frac{x}{y})$

Então :

$\frac{\partial }{\partial x}\left[xcos(\frac{x}{y}+\pi))\right] =\frac{\partial }{\partial x}\left[-xcos(\frac{x}{y})\right] = x\frac{sin(\frac{x}{y})}{y} -cos{(\frac{y}{x})} =-x\frac{sin(\frac{x}{y}+\pi)}{y} +cos{(\frac{y}{x}+\pi)}$

Mas $cos(\pi ) = -1$ se for em radianos . Não entendi porque 0,9984 ....

por **e8group** » Seg Jul 02, 2012 10:56

Vitor2+ escreveu:Agora estou sem saber se o resultado é -1 ou 0,9948.

Vitor ,eu acredito que sua calculadora estar configurada para degrees que neste caso reconhece cos pi ° ? cos 3,14 ° ,para obter cos pi em radianos só configura o mesmo para radians .Mas p/ ângulos analiticamente fáceis recomendo desenha o circulo trigonométrico .abraços !