Parábola

por **Claudin** » Ter Jun 12, 2012 20:50

Determine as equações paramétricas da parábola y^2=4x

por **Russman** » Qua Jun 13, 2012 01:01

Como você tentou solucionar este problema?

por **Claudin** » Qua Jun 13, 2012 18:34

Não consegui solucionar, pois essa matéria ainda não foi dada, e as aulas estão paralisadas devido a greve, então estou adiantando matéria
se puder me ajudar, fico grato.

por **DanielFerreira** » Qua Jun 13, 2012 20:43

Considerando y = t

, x é dado por:

y^2 = x

Poderia também fazer x = t

, substituir x por t e encontrar y.

por **Claudin** » Qua Jun 13, 2012 21:12

Seria

Substituindo y=t

Mas a resposta tem

envolvida, ai não sei como chegar na resposta correta.

por **DanielFerreira** » Qua Jun 13, 2012 22:11

Mas a questão pede apenas a parametrização, não é isso?!

por **Russman** » Qua Jun 13, 2012 23:27

E no mais, existem infinitas parametrizações possíveis! Dá até pra imaginar uma com tangente, se quiser...mas eu acho que é complicar algo simples. k

por **Claudin** » Qui Jun 14, 2012 00:25

Então, mas eu queria aprender do modo em que está o gabarito
envolvendo tg, se alguém puder me ajudar

por **Russman** » Qui Jun 14, 2012 03:03

O enunciado é só este? Como está a solução no gabarito?

por **Claudin** » Qui Jun 14, 2012 03:06

Sim o enunciado é somente este.

No gabarito está da seguinte forma

x=tg^2t

por **Claudin** » Qui Jun 28, 2012 15:42

Alguém conseguiu chegar no resultado como o gabarito? Ainda não consegui compreender.

por **LuizAquino** » Dom Jul 01, 2012 11:36

Claudin escreveu:Alguém conseguiu chegar no resultado como o gabarito? Ainda não consegui compreender.

Primeiro vamos analisar uma parametrização para a parábola y = x^2

.

Na figura abaixo, desejamos relacionar as coordenadas do ponto C = (x0, y0) da parábola com o ângulo t. Esse ângulo será o nosso parâmetro.

: figura1.png (6.04 KiB) Exibido 4190 vezes

Do triângulo retângulo formado na figura, podemos dizer que:

$\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2}} = \cos t$

Lembrando que (x0, y0) é um ponto da parábola, podemos dizer que y_0 = x_0^2

. Temos então que:

$\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2 + x_0^4}} = \cos t$

$x_0 = \sqrt{x_0^2 + x_0^4}\cos t$

$x_0^2 = \left(x_0^2 + x_0^4\right)\cos^2 t$

$\left(\cos^2 t\right) x_0^4 + \left(\cos^2 t - 1\right)x_0^2 = 0$

$\left(\cos^2 t\right) x_0^4 + \left(-\,\textrm{sen}^2\, t\right) x_0^2 = 0$

$\left[\left(\cos^2 t\right) x_0^2 - \,\textrm{sen}^2\, t \right]x_0^2 = 0$

$\left(\cos^2 t\right) x_0^2 - \,\textrm{sen}^2\, t = 0 \textrm{ ou } x_0^2 = 0$

Resolvendo essa equações, obtemos que $x_0 = \,\textrm{tg}\,t$ ou x_0 = 0

.

Lembando que y_0 = x_0^2

, temos que $y_0 = \,\textrm{tg}^2\,t$ ou y_0 = 0

.

Desse modo, considerando $t\in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ podemos obter as seguintes equações paramétricas para o "lado direito" da parábola:

$\begin{cases}x = \,\textrm{tg}\,t \\ y = \,\textrm{tg}^2\,t\end{cases}$

Utilizando um desenvolvimento análogo ao que foi feito para esse caso, podemos concluir que considerando $t\in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ as equações paramétricas para o "lado esquerdo" da parábola também serão essas.

Considerando então tudo que foi discutido até aqui, fica fácil perceber que a parábola y^2 = 4x

pode ter equações paramétricas dadas por:

$\begin{cases}x = \frac{1}{4}\,\textrm{tg}^2\,t \\ y = \,\textrm{tg} \,t\end{cases}$

Esta é uma resposta válida para o exercício. Conferindo a resposta, note que:

$y = \,\textrm{tg} \,t \implies y^2 = \,\textrm{tg}^2 \,t \implies y^2 = 4x$

Mas também podemos usar um pouco mais de álgebra (e criatividade) para escrever outras equações paramétricas:

$\begin{cases}x = \,\textrm{tg}^2\,t \\ y = 2\,\textrm{tg} \,t\end{cases}$

Veja que essa também é uma resposta válida:

$y = 2\,\textrm{tg} \,t \implies y^2 = 4\,\textrm{tg}^2 \,t \implies y^2 = 4x$

Para finalizar a discussão, mudando o parâmetro usado também existem outras respostas válidas:

$\begin{cases}x = \frac{1}{4}t^2 \\ y = t\end{cases}$

$\begin{cases}x = t^2 \\ y = 2t\end{cases}$

Nesses casos o parâmetro t não está relacionado com um ângulo, mas sim com a coordenada y dos pontos da parábola.