• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Mudança de Variável

Mudança de Variável

Mensagempor DanielFerreira » Dom Abr 29, 2012 21:06

danjr5 escreveu:Calcule \int_{}^{}\int_{B}^{}\frac{\sqrt[3]{y - x}}{1 + y + x} dx dy onde B é o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1)

Aplicando Mudança Linear, ficou:
\begin{vmatrix}
   u = y - x  \\ 
   v = 1 + y + x 
\end{matrix}

Jacobiano: \frac{1}{2}

Minha integral ficou assim:

\int_{0}^{1}\int_{v - 1}^{- v + 1}\frac{\sqrt[3]{u}}{v}.\frac{1}{2} du dv

Resultando em zero.
Poderiam confirmar se o intervalo está correto?

Desde já agradeço.

Daniel.
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
--------------------------------------------------------------------------------
DanielFerreira
Colaborador - em formação
Colaborador - em formação
 
Mensagens: 1732
Registrado em: Qui Jul 23, 2009 21:34
Localização: Mangaratiba - RJ
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática - IFRJ
Andamento: formado

Re: Mudança de Variável

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 01, 2012 15:44

danjr5 escreveu:
danjr5 escreveu:Calcule \iint_{B} \frac{\sqrt[3]{y - x}}{1 + y + x} dx dy onde B é o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (0,1)

Aplicando Mudança Linear, ficou:
\begin{vmatrix}
   u = y - x  \\ 
   v = 1 + y + x 
\end{matrix}

Jacobiano: \frac{1}{2}


Nesse caso o Jacobiano é -1/2.

danjr5 escreveu:Minha integral ficou assim:

\int_{0}^{1}\int_{v - 1}^{- v + 1}\frac{\sqrt[3]{u}}{v}.\frac{1}{2} du dv

Resultando em zero.
Poderiam confirmar se o intervalo está correto?


Como B é triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1), temos que B = \{(x\, ,y)\in\mathbb{R}^2 \,|\, 0\leq x \leq 1,\, 0 \leq y \leq 1 - x \} .

Considerando a substituição u = y - x e v = 1 + y + x, temos que:

x = 0 \implies \begin{cases} u = y \\ v = 1 + y\end{cases} \implies v = 1 + u

x = 1 \implies \begin{cases} u = y - 1 \\ v = 2 + y\end{cases} \implies v = 3 + u

y = 0 \implies \begin{cases} u = - x \\ v = 1 + x\end{cases} \implies v = 1 - u

y = 1 - x \implies y + x  + 1 = 2 \end{cases} \implies v = 2

Traçando os gráficos no sistema de eixos uv, temos a figura abaixo.

figura.png
figura.png (5.04 KiB) Exibido 1857 vezes


Desse modo, temos que:

\iint_{B} \frac{\sqrt[3]{y - x}}{1 + y + x} \, dx \, dy = \int_{1}^{2}\int_{1-v}^{-1+v} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} \, du \, dv

Agora termine o exercício.
Editado pela última vez por LuizAquino em Ter Mai 01, 2012 15:56, em um total de 1 vez.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: Mudança de Variável

Mensagempor DanielFerreira » Ter Mai 01, 2012 15:51

LuizAquino,
boa tarde!!
Quanto ao Jacobiano, ouvi o professor dizer que deveríamos usar o módulo. Se puder esclarecer serei grato mais uma vez.

Até breve!!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
--------------------------------------------------------------------------------
DanielFerreira
Colaborador - em formação
Colaborador - em formação
 
Mensagens: 1732
Registrado em: Qui Jul 23, 2009 21:34
Localização: Mangaratiba - RJ
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática - IFRJ
Andamento: formado

Re: Mudança de Variável

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 01, 2012 15:56

danjr5 escreveu: Quanto ao Jacobiano, ouvi o professor dizer que deveríamos usar o módulo. Se puder esclarecer serei grato mais uma vez.


De fato, devemos usar o módulo do Jacobiano quando vamos substituir na integral.

Nesse caso o Jacobiano é -1/2, portanto na integral iremos colocar |-1/2| = 1/2.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 0 visitantes

 



Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.