Mudança de Variável

por **DanielFerreira** » Dom Abr 29, 2012 21:06

danjr5 escreveu:Calcule $\int_{}^{}\int_{B}^{}\frac{\sqrt[3]{y - x}}{1 + y + x}$ dx dy onde B é o triângulo de vértices

Aplicando Mudança Linear, ficou:
$\begin{vmatrix} u = y - x \\ v = 1 + y + x \end{matrix}$

Jacobiano: $\frac{1}{2}$

Minha integral ficou assim:

$\int_{0}^{1}\int_{v - 1}^{- v + 1}\frac{\sqrt[3]{u}}{v}.\frac{1}{2}$ du dv

Resultando em zero.
Poderiam confirmar se o intervalo está correto?

Desde já agradeço.

Daniel.

por **LuizAquino** » Ter Mai 01, 2012 15:44

danjr5 escreveu:
danjr5 escreveu:Calcule $\iint_{B} \frac{\sqrt[3]{y - x}}{1 + y + x}$ dx dy onde B é o triângulo de vértices

Aplicando Mudança Linear, ficou:
$\begin{vmatrix} u = y - x \\ v = 1 + y + x \end{matrix}$

Jacobiano: $\frac{1}{2}$

Nesse caso o Jacobiano é -1/2.

danjr5 escreveu:Minha integral ficou assim:

$\int_{0}^{1}\int_{v - 1}^{- v + 1}\frac{\sqrt[3]{u}}{v}.\frac{1}{2}$ du dv

Resultando em zero.
Poderiam confirmar se o intervalo está correto?

Como B é triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1), temos que $B = \{(x\, ,y)\in\mathbb{R}^2 \,|\, 0\leq x \leq 1,\, 0 \leq y \leq 1 - x \}$ .

Considerando a substituição u = y - x e v = 1 + y + x, temos que:

$x = 0 \implies \begin{cases} u = y \\ v = 1 + y\end{cases} \implies v = 1 + u$

$x = 1 \implies \begin{cases} u = y - 1 \\ v = 2 + y\end{cases} \implies v = 3 + u$

$y = 0 \implies \begin{cases} u = - x \\ v = 1 + x\end{cases} \implies v = 1 - u$

$y = 1 - x \implies y + x + 1 = 2 \end{cases} \implies v = 2$

Traçando os gráficos no sistema de eixos uv, temos a figura abaixo.

: figura.png (5.04 KiB) Exibido 1718 vezes

Desse modo, temos que:

$\iint_{B} \frac{\sqrt[3]{y - x}}{1 + y + x} \, dx \, dy = \int_{1}^{2}\int_{1-v}^{-1+v} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} \, du \, dv$

Agora termine o exercício.

por **DanielFerreira** » Ter Mai 01, 2012 15:51

LuizAquino,
boa tarde!!
Quanto ao Jacobiano, ouvi o professor dizer que deveríamos usar o módulo. Se puder esclarecer serei grato mais uma vez.

Até breve!!

por **LuizAquino** » Ter Mai 01, 2012 15:56

danjr5 escreveu: Quanto ao Jacobiano, ouvi o professor dizer que deveríamos usar o módulo. Se puder esclarecer serei grato mais uma vez.

De fato, devemos usar o módulo do Jacobiano quando vamos substituir na integral.

Nesse caso o Jacobiano é -1/2, portanto na integral iremos colocar |-1/2| = 1/2.