Semelhança, proporção

por **jmontenegro** » Sex Mar 02, 2012 12:53

Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, os pontos M e N são médios dos lados BC e CD, respectivamente, e P é o ponto de interseção dos segmentos AM e BN.
(a imagem do problema esta em http://imageshack.us/photo/my-images/193/quadradoa.jpg)

A razão PM/PA é igual a:
A) 5
B) 2(5)^1/2
C) 4
D) 3
E) (5)^1/2

Pelo gabarito seria letra C (resposta: 4).

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Eu só encontro 3...
Estou calculando da seguinte forma:

No triangulo ABP
tg30 = (3^1/2)/3
igualei isso a z/x
achei z=(x(3)^1/3)/3

No triangulo PMB
tg 30 = (3^1/2)/3 = y/((x(3)^1/2))/3
achei x=3y

PA/PM = x/y = 3y/y = 3

Nao sei onde estou errando...

Grata,

Julia

por **timoteo** » Dom Mar 04, 2012 04:43

julia a questao aparenta estar faltando algo.

em minhas respostas encontrei 1. usei seus dados da tg e semelança de triangulo e nada.

tem mais alguma coisa a acrescentar?

por **jmontenegro** » Dom Mar 04, 2012 23:29

Pois é... Nao tem! :(

Mas vou levar a um amigo amanha e se ele conseguir resolver eu posto a resposta!

Obrigada!

por **LuizAquino** » Ter Mar 06, 2012 17:24

jmontenegro escreveu:Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, os pontos M e N são médios dos lados BC e CD, respectivamente, e P é o ponto de interseção dos segmentos AM e BN.

figura.png (2.88 KiB) Exibido 1243 vezes

A razão PM/PA é igual a:
A) 5
B) 2(5)^1/2
C) 4
D) 3
E) (5)^1/2

Pelo gabarito seria letra C (resposta: 4).

Observação

Para que o gabarito seja o valor indicado, o texto final do exercício deveria ser: "A razão PA/PM é igual a:"

jmontenegro escreveu:Eu só encontro 3...
Estou calculando da seguinte forma:

No triangulo ABP
tg30 = (3^1/2)/3
igualei isso a z/x
achei z=(x(3)^1/3)/3

No triangulo PMB
tg 30 = (3^1/2)/3 = y/((x(3)^1/2))/3
achei x=3y

PA/PM = x/y = 3y/y = 3

Nao sei onde estou errando...

Você está errando pelo fato de que nos triângulos ABP e PMB não há um ângulo de 30°.

Agora observe a figura abaixo.

: figura2.png (3.74 KiB) Exibido 1243 vezes

Como ABM e BCN são dois triângulos retângulos possuindo as mesmas medidas para os catetos, temos que ABM e BCN são congruentes.

Sendo assim, temos que $M\hat{A} B = M\hat{B}P$ .

Além disso, o ângulo $P\hat{M}B$ é compartilhado pelos triângulos ABM e BPM.

Conlusão: pelo critério AA (Ângulo - Ângulo), temos que ABM e BPM são semelhantes.

Isso significa que BPM é um triângulo retângulo, com ângulo reto em P.

Sendo l o lado do quadrado, podemos construir a figura abaixo.