Matriz

por **Claudin** » Qui Fev 16, 2012 18:55

4. Classique cada uma das afirmacões abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira, prove; se falsa, prove ou dê um contra-exemplo.

(a) Se A, B e C são matrizes n n tais que AB = AC então B = C.
Resolução: Falso

Pois se:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 2\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

OBS: sendo B a inversa de A
$B = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$C = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Errado, agora que vi que pensei errado.

Mas se A for matriz nula, B e C não precisam ser iguais para ter o mesmo resultado, porém continua falso.

por **fraol** » Qui Fev 16, 2012 21:11

Também, ainda usando o seu exemplo da matriz nula, você pode usar este contra-exemplo para mostrar que a afirmação é falsa:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

pois AB = AC

com $B \ne C$ .

por **MarceloFantini** » Qui Fev 16, 2012 21:17

Fraol, gostaria de lembrar que ele diz matrizes $n \times n$ . Realmente é falso, mas você não atendeu as hipóteses.

por **fraol** » Qui Fev 16, 2012 21:29

É que o enunciado diz para provar ou dar um contra-exemplo. Apesar de não ser legítimo, os contra-exemplos são sempre um bom método para refutar declarações falsas.

por **MarceloFantini** » Qui Fev 16, 2012 21:32

Realmente o enunciado diz para provar ou dar um contra-exemplo, e contra-exemplos são completamente legítimos. Mas para ser contra-exemplo você precisa exibir um elemento que satisfaça todas as hipóteses e a conclusão seja falsa, e o seu não satisfaz todas as hipóteses, veja:

(a) Se A, B e C são matrizes $n \times n$ tais que AB = AC então B = C.

Suas matrizes não são quadradas.

por **fraol** » Qui Fev 16, 2012 21:40

Tem toda razão Marcelo. Eu deveria ter refutado com uma matriz $n \times n$ como contra-exemplo.
( se você não puxasse a minha orelha, ela não sairia da frente dos meus olhos e eu não veria o $n \times n$ ). Obrigado.

por **fraol** » Qui Fev 16, 2012 22:08

E para redimir, lá vão contra-exemplos $2 \times 2$
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \\ 1 & 2 & \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

pois AB = AC

com $B \ne C$ .

por **Claudin** » Sáb Fev 25, 2012 19:50

Não compreendi como você chegou nesse exemplo?

Outra pergunta seria, quando o resultado for uma matriz nula, sempre devemos multiplicar uma matriz por uma matriz nula? Ou tem exceções?

Por exemplo temos que

A = {{1,2}{2,2}}
B = {{0,0}{0,0}}

Teria como resultar em uma matriz nula, com uma multiplicação de matrizes não nulas?

por **MarceloFantini** » Sáb Fev 25, 2012 23:33

Tome A e B iguais as do fraol mas faça $C = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}$ . Então AB = AC

mas $B \neq C$ e $B \neq 0$ , $C \neq 0$ .

por **LuizAquino** » Dom Fev 26, 2012 10:10

Claudin escreveu:Outra pergunta seria, quando o resultado for uma matriz nula, sempre devemos multiplicar uma matriz por uma matriz nula? Ou tem exceções?
(...)
Teria como resultar em uma matriz nula, com uma multiplicação de matrizes não nulas?

O quesito c) de outro exercício que você enviou responde essas perguntas. Por favor, reveja esse exercício:

viewtopic.php?f=111&t=7173