distância d na circunfêrencia trigonométrica

por **gustavoluiss** » Sex Jul 22, 2011 11:20

Calcule a distância d indicada na circunfêrencia trigonométrica ao lado.

Alguém conheçe esse problema ??

Eu tentei usar uma propriedade do círculo trigonométrico que diz que um ponto A mede (cos A,sen A), só que o resultado não bateu.Alguém pode resolver esse problema ?

resposta : d= $\sqrt[2]{2 - \sqrt[2]{2}}$

por **LuizAquino** » Sex Jul 22, 2011 11:39

Dica

Se O é a origem do sistema, note que o triângulo OAB é isósceles. O seus lados medem 1, 1 e d e o ângulo oposto a d mede 45°.

Feito essa observação, aplique a Lei dos Cossenos.

por **gustavoluiss** » Sex Jul 22, 2011 11:41

mais o 1 não é medida do lado do triângulo não , o 1 , é medida do circúlo trigonométrico em 0 graus!

eu to ligado na lei dos cossenos.

por **LuizAquino** » Sex Jul 22, 2011 11:43

gustavoluiss escreveu:mais o 1 não é medida do lado do triângulo não , o 1 , é medida do circúlo trigonométrico em 0 graus!

Pense nas seguintes perguntas:

Quanto mede o raio do círculo trigonométrico? Os segmentos OA e OB são raios desse círculo?

por **gustavoluiss** » Sex Jul 22, 2011 11:47

Eu não intendi,isso dai não tem haver com função trigonométrica não ?

por **gustavoluiss** » Sex Jul 22, 2011 11:52

o resultado pela lei dos cossenos dá 1 ,

por **LuizAquino** » Sex Jul 22, 2011 12:03

gustavoluiss escreveu:Eu não intendi,isso dai não tem haver com função trigonométrica não?

Só porque no exercício aparece um círculo de raio 1 não significa que necessariamente você deve utilizar os conteúdos de funções trigonométricas para resolvê-lo.

No caso desse exercício, ele poderia perfeitamente aparecer na seção de um livro falando sobre a Lei dos Cossenos.

gustavoluiss escreveu:o resultado pela lei dos cossenos dá 1 ,

A figura abaixo destaca apenas o triângulo isósceles.

: triângulo-isósceles.png (3.03 KiB) Exibido 3186 vezes

Pela Lei dos Cossenos, temos que:
$d^2 = 1^2 + 1^2 - 2\cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 45^\circ$

Resolvendo essa equação, obtemos $d = \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

por **gustavoluiss** » Sex Jul 22, 2011 12:19

puta que paril,você tá certo.

eu vi o angulo errado,mais ai tem outro jeito de resolver ???

obrigado pela resposta.

por **LuizAquino** » Sex Jul 22, 2011 15:00

gustavoluiss escreveu:mais ai tem outro jeito de resolver ???

Com certeza há. Por exemplo, pode-se utilizar os conhecimentos de Geometria Analítica.

Temos que $A = (\cos 15^\circ,\, \textrm{sen}\,15^\circ)$ e $B = (\cos 60^\circ,\, \textrm{sen}\,60^\circ)$ .

A distância entre esses dois pontos é dada por:

$d = \sqrt{(\cos 60^\circ - \cos 15^\circ)^2 + (\textrm{sen}\,60^\circ - \textrm{sen}\,15^\circ)^2}$

$= \sqrt{(\cos^2 60^\circ + \textrm{sen}^2\,60^\circ) + (\cos^2 15^\circ + \textrm{sen}^2\,15^\circ) - 2(\cos 60^\circ \cos 15^\circ + \textrm{sen} \,60^\circ \textrm{sen}\,15^\circ)}$

$= \sqrt{2 - 2\cos (60^\circ - 15^\circ)}$

$= \sqrt{2 - \sqrt{2}}$