trinômio

[cazevedo]

Boa noite, estou quebrando a cabeça com o seguinte problema : "Considerando o que você apremdeu sobre polinômios,

responda: EXISTE ALGUM NÚMERO RACIONAL QUE SEJA IGUAL AO SEU CUBO MAIS UM ? " a minha dúvida é : achei x^3-x+1=0, fatorei e achei (x+1)(x^2-x+1) dando duas raízes imaginárias e uma raíz = -1. mas seu elevar (-1)^3 +1 =0 e não igual ao -1. O polonômio de terceiro grau pode ter uma raiz real negativa e duas imaginárias.Como eu saio dessa ???

[FilipeCaceres]

Dê uma olhadinha no link viewtopic.php?f=115&t=4248 nele tem explicado como encontrar raízes racionais de um polinômio.

Se vc não conseguir poste novamente que lhe ajudaremos.

Abraço.

[cazevedo]

Respondi da seguinte maneira :
x=x3 +1 ===> logo x3 - x +1 . Vamos tentar determinar as raízes racionais de g(x) = x3 - x + 1, como esse polinômio é mônico, as raízes racionais, se existirem, são números inteiros divisores de 1. Os divisores de 1 são : 1 e -1. Verificamos que:
f(1) = 13 - 1 +1 = 1 ou f(-1) = (-1)3 -1 +1 = -1.
Portanto :
x3 - x +1 = ( x2 - x +1)(x+1) e concluímos que (x-1)(x+1) não divide x3 - x +1.
A divisão pelo dispositivo de Briot-Ruffini de g(x)= x3 - x + 1 por x-1 para verificar se -1 é uma solução : -
x3 0x2 - x +1 ===> | 1 0 -1 1
|----------------
1 | 1 0 -1 1


O resto da divisão é 1 , o quociente é x2 - x , e podemos concluir :
Portanto não existe um número racional que seja igual ao seu cubo mais um.