Derivadas

por **AlbertoAM** » Sex Abr 15, 2011 23:28

Olá, estou com dificuldade nesse exercício, onde ele pede para derivar e simplificar:

$f(x)=\frac{3}{5}x\sqrt[3]{x^2}+\frac{3}{2}x\sqrt[3]{x}+x$

R.: $f'(x)=(\sqrt[3]{x}+1)^2$

Então, nesse exercício teríamos que primeiro utilizar a álgebra das derivadas e depois usar a "tabela de derivadas".Eu pensei em separar assim:
$f'(x)=x'\:(\frac{3}{5}\sqrt[3]{{x}^{2}})'+x'(\frac{3}{2}\sqrt[3]{x})+x'$

Só que se eu fizesse isso eu poderia fazer isso também:
$f'(x)=\frac{3}{5}'\:(x\sqrt[3]{{x}^{2}})'...$

Ai a derivada daria zero.Então deve estar errada a minha idéia.Eu teria que usar que tipo de técnica para derivar essa função?
Outras dúvida, eu queria saber se para derivar uma função usando a definição, tanto faz eu usar esse limite $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ou esse $f'(x)=\lim_{x\rightarrow x0}\frac{f(x)-f(x0)}{x-x0}$ , ou seja, eles são equivalentes, vão dar a mesma derivada?

Sem querer abusar, poderia verificar se eu resolvi corretamente esse exercício, onde ele pede para derivar e simplificar:
http://img13.imageshack.us/i/derivada.png/

Muito obrigado.

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 16, 2011 01:24

Vamos reescrever as potências de x:

$x \sqrt[3]{x^2} = x \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$

$x\sqrt[3]{x} = x \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}}$

Logo a função fica:

$f(x) = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + x$

Derivando:

$f'(x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{3}} + 1$

$\therefore f'(x) = x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 1 = (x^{\frac{1}{3}} + 1)^2 = (\sqrt[3]{x} +1)^2$

por **AlbertoAM** » Sáb Abr 16, 2011 01:36

Muito Obrigado pela ajuda.

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