Questão prova concurso (tangência)

por **fernandocez** » Dom Mar 06, 2011 12:12

48. O raio da circunferência que tem centro no ponto (3,4) e tangencia e reta da equação x+2y = 1 é:
resp.: $2\sqrt[]{5}$

Essa eu consegui fazer mas estou com dúvida se usei o caminho certo ou mais curto.
Eu fiz assim:

Encotrei a distância entre o centro da circunferência P(3,4) e a reta (x+2y = 1). Prá isso usei essa fórmula.

d(P,r) = $\frac{\left|ax+by+c \right|}{\sqrt[]{{a}^{2}+{b}^{2}}}$ = $\frac{\left|-\frac{1}{2}3-1*4+\frac{1}{2} \right|}{\sqrt[]{{\left(-\frac{1}{2} \right)}^{2}+{\left(-1 \right)}^{2}}}$ = $2\sqrt[]{5}$

Eu queria saber se o caminho tá bom ou teria um mais rápido no concurso?

por **Renato_RJ** » Dom Mar 06, 2011 15:13

Fernando, eu acho esse método o mais rápido mesmo, pois você usou a fórmula para achar a distância entre um ponto e uma reta dada sua equação geral, mas achei suas contas confusas, eu fiz desse jeito, veja:

$x + 2y = 1 \Rightarrow \, x + 2y - 1 = 0$

Agora que eu tenho a equação da reta na forma ax + by + c =0, posso usar a fórmula:

$d = \frac{\left| ax + by + c \right |}{\sqrt{a^2 + b^2}} \Rightarrow \, d = \frac {\left| (1 \cdot 3) + (2 \cdot 4) - 1 \right |}{\sqrt{1 + 4}} \Rightarrow \, d = \frac{10}{\sqrt{5}}$

Retirando a raiz do denominador, teremos:

$d = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \Rightarrow \, d = \frac{10 \sqrt{5}}{5} \Rightarrow \, d = 2 \sqrt{5}$

[ ]'s
Renato.

por **fernandocez** » Dom Mar 06, 2011 17:30

Renato_RJ escreveu:Fernando, eu acho esse método o mais rápido mesmo, pois você usou a fórmula para achar a distância entre um ponto e uma reta dada sua equação geral, mas achei suas contas confusas...

Valeu Renato, ficou muito mais fácil. Realmente o que eu fiz fica muito trabalhoso. É que peguei a equação: x+2y = 1 e ignorantemente arrumei ela até ficar: -x/2-y+1/2=0 e não tinha necessidade, era só pegar a eq. x+2y = 1 e igualar a 0: x+2y-1 = 0 que nem vc fez. Obrigado.