Limite

por **vdzz** » Qua Fev 16, 2011 17:15

Olá, alguém poderia me ajudar com este exercício, explicando passo a passo e se possível passar algum outro para eu tentar fazer ?
Desde já agradeço.

Ai vai o exercício:
Imagem

por **Molina** » Qua Fev 16, 2011 17:19

Boa tarde.

Por favor, coloque o enunciado completo da questão.

por **vdzz** » Qua Fev 16, 2011 17:37

A questão é achar o limite de x, naquela função.

por **Molina** » Qua Fev 16, 2011 18:19

Fiz usando L`Hopital, é válido?

Possa até ter outro método, mas usando este procedimento sai em 3 linhas...

A resposta deu $\frac{n}{m}$

:y:

por **vdzz** » Qua Fev 16, 2011 18:48

Creio que sim.

Tem como você me explicar esse procedimento e me explicar passo a passo como você fez?

No exemplo em que a professora deu, ela usou substituição.

por **LuizAquino** » Qua Fev 16, 2011 19:18

Seja o limite:
$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[m]{x} - 1}{\sqrt[n]{x} - 1}$

Façamos a substituição $u = \sqrt[n]{x}$ , obtendo assim um novo limite (note que u também tenderá a 1):
$\lim_{u\to 1}\frac{\sqrt[m]{u^n} - 1}{u - 1}$

Arrumando de forma conveniente:
$\lim_{u\to 1}\frac{\left(\sqrt[m]{u}\right)^n - 1^n}{\left(\sqrt[m]{u}\right)^m - 1^m}$

Usando o produto notável $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \ldots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1})$ :

$\lim_{u\to 1}\frac{(\sqrt[m]{u} - 1)(\sqrt[m]{u}^{n-1} + \sqrt[m]{u}^{n-2} + \sqrt[m]{u}^{n-3}+\ldots \sqrt[m]{u}^2 + \sqrt[m]{u} + 1)}{(\sqrt[m]{u} - 1)(\sqrt[m]{u}^{m-1} + \sqrt[m]{u}^{m-2} + \sqrt[m]{u}^{m-3}+\ldots \sqrt[m]{u}^2 + \sqrt[m]{u} + 1)}$

$\lim_{u\to 1}\frac{\sqrt[m]{u}^{n-1} + \sqrt[m]{u}^{n-2} + \sqrt[m]{u}^{n-3}+\ldots \sqrt[m]{u}^2 + \sqrt[m]{u} + 1}{\sqrt[m]{u}^{m-1} + \sqrt[m]{u}^{m-2} + \sqrt[m]{u}^{m-3}+\ldots \sqrt[m]{u}^2 + \sqrt[m]{u} + 1}$

Não há mais indeterminação! Fazendo u tender a 1, temos que cada $\sqrt[m]{x}^k$ (com k=n-1, n-2, ..., 1) no numerador será igual a 1. Quantos desses termos nós temos? Nós temos n-1 desses termos. Já no denominador nós temos m-1 termos do tipo $\sqrt[m]{x}^k$ (com k=m-1, m-2, ..., 1).

Portanto, o limite original é equivalente há:
$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[m]{x} - 1}{\sqrt[n]{x} - 1} = \frac{(n-1)\cdot 1 + 1}{(m-1)\cdot 1 + 1} = \frac{n}{m}$

Obviamente, como indicou o colega Molina, usando a regra de L'Hôpital o exercício sai em poucas linhas. Mas, partindo do pressuposto que a pessoa ainda não tenha estudado derivada, essa regra não poderia ser aplicada. De qualquer modo, segue aqui a solução sem usar essa regra.

por **vdzz** » Qua Fev 16, 2011 20:48

Valeu luiz.

por **Molina** » Qua Fev 16, 2011 20:54

Perfeita a solução so Luiz Aquino.

Mas para adiantar provavelmente o assunto que você estudará mais adiante, segue a solução por L'Hopital:

Seja $\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[m]{x} - 1}{\sqrt[n]{x} - 1}$ . Substituindo x por 1 temos uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ . Sendo assim, podemos usar a regra de L'Hopital que nada mais é do que derivar o numerador e derivar o denominador (separadamente) e posteriormente calcular o limite:

$\lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt[m]{x} - 1)'}{(\sqrt[n]{x} - 1)'}=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{m}*x^{\frac{1-m}{m}}}{\frac{1}{n}*x^{\frac{1-n}{n}}}=\frac{\frac{1}{m}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{m}$

:y:

por **LuizAquino** » Qua Fev 16, 2011 21:03

Para aguçar ainda mais a curiosidade sobre esse exercício, poderíamos fazer ainda uma substituição bem elegante, que seria fazer $u=x^{mn}$ , pois desse modo o limite ficaria bem simples:
$\lim_{u\to 1}\frac{u^n - 1}{u^m - 1}$

Basta agora aplicar o produto notável:
$\lim_{u\to 1}\frac{(u - 1)(u^{n-1} + u^{n-2} + \ldots + u^2 + u + 1)}{(u-1)(u^{m-1} + u^{m-2} + \ldots u^2 + u + 1)}$

$\lim_{u\to 1}\frac{u^{n-1} + u^{n-2} + \ldots + u^2 + u + 1}{u^{m-1} + u^{m-2} + \ldots + u^2 + u + 1}$

Temos algo do tipo u^k

n-1 vezes no numerador e m-1 vezes no denominador, novamente o limite original é equivalente a:

$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt[m]{x} - 1}{\sqrt[n]{x} - 1} = \frac{(n-1)\cdot 1 + 1}{(m-1)\cdot 1 + 1} = \frac{n}{m}$

por **vdzz** » Qua Fev 16, 2011 23:03

Vou dar uma olhada em como se deriva, pois parece bem mais prático, valeu molina.

Esse seu segundo exemplo Luiz, achei mais tranquilo comparado ao primeiro.

Valeu pela ajuda (:

por **LuizAquino** » Qui Fev 17, 2011 08:08

vdzz escreveu:Esse seu segundo exemplo Luiz, achei mais tranquilo comparado ao primeiro.

Provavelmente você está dizendo isso pois no primeiro exemplo envolvia o trabalho com raízes. Gostaria de lhe deixar uma dica: todo estudante da área de exatas é obrigado a saber trabalhar com raízes (ou qualquer outro número que apareça)!

Se você não estiver lembrando das propriedades de radiciação, indico para você os vídeos do Nerckie no YouTube:
Matemática Zero - Aula 10 - Radiciação - Primeira Parte (Total de 3 vídeos)
http://www.youtube.com/watch?v=K73GLTmT8Ys

Matemática Zero - Aula 12 - Racionalização - Primeira Parte (Total de 4 vídeos)
http://www.youtube.com/watch?v=qvVV_6mYVgo

por **LuizAquino** » Sex Fev 18, 2011 10:19

LuizAquino escreveu:Para aguçar ainda mais a curiosidade sobre esse exercício, poderíamos fazer ainda uma substituição bem elegante, que seria fazer $u=x^{mn}$ , pois desse modo o limite ficaria bem simples:
$\lim_{u\to 1}\frac{u^n - 1}{u^m - 1}$

Apenas uma correção, a substituição é $x=u^{mn}$ e não $u=x^{mn}$ como foi escrito anteriormente.

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