ANPEC-2009 Questão 14 - Integrais

por **gjmiquel** » Ter Nov 29, 2011 13:12

Seja $f:\Re \rightarrow \Re$ uma função duas vezes diferenciável, tal que f(0)=f'(0)=1

e

. Se

, calcule o valor de $\alpha=\left[{A\int_{0}^1e^{t}f(t)dt}\right]^2$ .

Eu tentei diversas abordagens. A mais lógica e direta foi trabalhar através da expansão de Taylor, e dessa forma obter uma expressão para a função f(x). Outra abordágem foi trabalhar inicialmente através da integral definida. No entanto, em ambas as abordagens, o que causa um pouco de desconforto (hehehe) é que a expressão obtida para f(x) garante que f(4) seja um número negativo.
Alguma ajuda?

por **LuizAquino** » Ter Nov 29, 2011 14:43

gjmiquel escreveu:Seja $f: \Re \rightarrow \Re$ uma função duas vezes diferenciável, tal que e . Se , calcule o valor de $\alpha=\left[{A\int_{0}^1e^{t}f(t)dt}\right]^2$ .

gjmiquel escreveu:Eu tentei diversas abordagens. A mais lógica e direta foi trabalhar através da expansão de Taylor, e dessa forma obter uma expressão para a função f(x). Outra abordágem foi trabalhar inicialmente através da integral definida. No entanto, em ambas as abordagens, o que causa um pouco de desconforto (hehehe) é que a expressão obtida para f(x) garante que f(4) seja um número negativo.
Alguma ajuda?

Primeiro resolva a EDO linear de 2ª ordem: $f^{\prime\prime}(x) + 2f^\prime(x) + f(x) = 0$ , sendo que $f(0) = f^\prime(0) = 1$ .

Após resolver a EDO você vai encontrar que $f(x) = e^{-x} + 2xe^{-x}$ .

A partir daí fica fácil concluir o exercício.