[CIRCUNFERÊNCIA]

por **Lais-Lima** » Seg Out 27, 2014 16:15

As circunferências da figura têm raios iguais a 5, seus centros estão na reta s e a circunferência de centro M tangencia as outras duas. A reta t é tangente à circunferência de centro N e passa pelo ponto A, em que a reta s intersecta a circunferência de centro L. Calcule o comprimento da corda BC, que a reta t determina na circunferência de centro M.

Formei o triângulo ATN, retângulo em T.
Sei que o lado AN mede 25 e o lado TN mede 5.
25² = 5² + AT²
625 - 25 = AT²
AT = $\sqrt[]{}$ 600 = 10 $\sqrt[]{}$ 6

E agora?

O gabarito é BC = 8.

por **adauto martins** » Qui Out 30, 2014 11:39

seja $\alpha$ o angulo mais agulo do triang.ATN,logo
$tg(\alpha)=5/25=1/5$ ...temos q. AB.AC=10.20=200...
vamos tomar o triang.ACM, e aplicar a lei dos cossenos,entao...
${5}^{2}={15}^{2}+{AC}^{2}-2.15.ACcos\alpha=225+{AC}^{2}-30.AC.cos\alpha$ ...
temos q. $tg\alpha=1/5\Rightarrow sen\alpha=cos\alpha/5\Rightarrow {cos\alpha}^{2}+({cos\alpha/5})^{2}=1\Rightarrow cos\alpha=5/\sqrt[]{26}$ ...entao, $25=225+{AC}^{2}+30AC.(5/\sqrt[]{26})\Rightarrow {AC}^{2}-(150/\sqrt[]{26})AC+200=0$ ...cujas soluçoes sao AC $\simeq$ 18.95 OU AC $\simeq$ 10.55(q. nao pode ser soluçao pois, $10.55\prec15$ )...logo temos AB.AC=200 e AB+BC=18.95...logo $BC\simeq8.4$

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