[Função exponencial]

por **Gustavo Gomes** » Qua Dez 12, 2012 22:04

Olá, pessoal.

Seja $f(x)={-x}^{2}+2x-3.$ . Qual o menor valor de ${\left(\frac{1}{3} \right)}^{f(x)}$ ?

A resposta é 9.

Desenvolvendo a expressão, cheguei em ${3}^{{x}^{2}}.{\left(\frac{1}{9} \right)}^{x}.27$ , mas daí não consegui pensar em um valor mínimo para essa expressão, para $x\in\Re$ ....

Aguardo. Grato.

por **Russman** » Qua Dez 12, 2012 22:58

$\left ( \frac{1}{3} \right )^{f(x)} = \frac{1^{f(x)}}{3^{f(x)}} = \frac{1}{3^{f(x)}}$

Note que essa expressão, $\frac{1}{3^{f(x)}}$ , irá atingir seu menor valor quanto maior for o seu denominador. Assim, temos de maximizar o termo $3^{f(x)}$ . Para isto temos de encontrar o maior valor que f(x)

pode atingir!

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x) = 0 \Rightarrow -2x+2 = 0\Rightarrow x=1$

Sabemos que a função atinge seu máximo/mínimo em x=1

e este valor corresponde a f(1)

.

Portanto, $\frac{1}{3^{f(1)}} = \frac{1}{3^{-2}} = 9$

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