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Mensagempor DdSzK » Dom Ago 25, 2013 20:35

Se a>0 então a reta y(x)=2ax-a^2 intercepta a parábola z(x)=x^2

Escolher uma resposta.

a) em nenhum ponto.
b) depende do valor de a.
c) ortogonalmente.
d) em dois pontos distintos.
e) em exatamente um ponto.
DdSzK
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Re: Questão

Mensagempor Russman » Seg Ago 26, 2013 02:57

Só calcular para qual x que y(x) = z(x). Isto é, para qual x que 2ax - a^2 = x^2.

basta resolver a equação.

2ax - a^2 = x^2
x^2 - 2ax + a^2 = 0
(x-a)^2 = 0
x=a.

Logo a reta intercepta a parábola em um único ponto. Isto é, a reta é tangente a parábola em x=a. Note que isto faz sentido, pois a derivada de z(x) é 2x. Assim, uma reta tangente a z(x) em x=x_0 e da forma y(x) = 2x_0x+b onde b = z(x_0) pois y(x_0) = z(x_0) \Rightarrow 2x_0^2 +b = x_0^2 \Rightarrow b = -x_0^2. Como x_0 = a, então y(x) = 2ax - a^2.

(:
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Re: Questão

Mensagempor DdSzK » Seg Ago 26, 2013 14:08

Opa!
Vlw pela resolução, cara!
Até pensei nisso mas nao sabia o que fazer com o resultado... Hehe
Obrigado novamente :D
DdSzK
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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