Equações exponenciais

por **Lucio** » Sex Nov 30, 2012 07:26

Seja a equação exponencial $\frac{{2}^{x}-{2}^{8-x}}{3}={2}^{3}$ . Qual é a solução desta equação?

Resp: 3 < x < 8

Tentei resolver assim:

$\frac{{2}^{x}-{2}^{8-x}}{3}={2}^{3} \rightarrow$ ${2}^{x}-{2}^{8}:{2}^{x}=24\rightarrow$ ${2}^{x}(1-{2}^{8}:1)=24\rightarrow$

${2}^{x}(1-256:1)=24\rightarrow$ ${2}^{x}(-255)=24$

Mas não consigo chegar a resposta.

Onde estou errando? Está tudo errado?

Desde já agradeço a ajuda de todos
Abraços

por **e8group** » Sex Nov 30, 2012 08:54

Bom dia .você cometeu erro no seguinte passo $2^x(1 - \frac{2^8}{1} )$ . Note que $\frac{2^8}{1} = 2^8$ , deste modo $2^x(1 - \frac{2^8}{1} ) = 2^x(1-2^8)$ .Além disso ,observe que $2^{8-x} = \frac{2^{8}}{2^x} = 2^8 \cdot 2^{-x}$ .

Conforme sua expressão , $2^x(1 - \frac{2^8}{1} ) = 2^x - 2^{8+x} \neq 2^x - 2^{8-x}$ .Tome cuidado em assumir que $k \left(\cdot \frac{m +p}{q}\right) = \frac{km +kp}{kq} , q \neq 0$ .Isto não é verdade .

EX.: Numerico :

$8 = 2 + 6 = 2 + 2\cdot 3 = 2 + \frac{2^2\cdot 3}{2} = 2 (1 + \frac{2\cdot 3}{1} ) = 2(1 + 2\cdot 3) = 2(1+6) = 2(7) = 14$

Absurdo(8=14)!!! .

por **Lucio** » Sex Nov 30, 2012 16:11

Santhiago muito obrigado pela sua assistência e pela dica.

Mas mesmo assim não estou conseguindo calcular a equação.

Você pode por favor, me auxiliar mais uma vez nessa resolução?

Abraços

por **e8group** » Sex Nov 30, 2012 21:03

Claro ,com certeza .

$\frac{2^x -2^{8-x}}{3} = 2^3 \leftrightarrow 3\cdot \left( \frac{2^x -2^{8-x}}{3} \right )= 3\cdot 2^3 = 2^{x}-2^{8}\cdot2^{-x} = 24$

Agora , se multiplicarmos ambos lados por $2^{x}$ não alteraremos a igualdade . E , utilizando as propriedades $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$ e $x^{n\cdot y} = (x^y)^n = (x^n)^y$ .Vamos obter ,

$2^{x}-2^{8}\cdot2^{-x} = 24 \leftrightarrow 2^x(2^{x}-2^{8}\cdot2^{-x}) = 2^x \cdot 24 \leftrightarrow 2^{x+x} -2^8 \cdot 2^{-x+x} = 2^x \cdot 24$

Agora observe as propriedades citadas acima e tente aplicar na equação acima , feito isto vamos obter :

$2^{x+x} -2^8 \cdot 2^{-x+x} = 2^x \cdot 24 \leftrightarrow (2^x)^2 -2^8 = 2^x\cdot 24$

Somando o simétrico de $2^x \cdot 24$ em ambos lados , vamos ter

$(2^x)^2 -2^8 = 2^x\cdot 24 \leftrightarrow [ (2^x)^2 -2^8]+(-2^x\cdot 24) = 2^x\cdot 24 - 2^x\cdot 24 \leftrightarrow (2^x)^2 -2^x\cdot 24 -2^8 = 0$

Agora seja , 2^x = y

. Como

é estritamente positivo para quaisquer valores reais que

assumir (verifique ! ) vamos ter que ,

$(2^x)^2 -2^x\cdot 24 -2^8 = y^2 - 24y -2^8 = 0$ se e somente se y > 0

. Uma vez que temos solução para

teremos para

.

Resolvendo $y^2 - 24y -2^8 = 0 \implies y = \begin{cases} -8 \ (\text{descartamos}) \\ 32 \end{cases}$ .

Deste modo ,

$2^x = 32 = 2^5 \therefore x = 5$ .

por **Lucio** » Sáb Dez 01, 2012 05:51

Olá Santhiago

Não sei como agradecer a sua ajuda, estudar sozinho é muito difícil. Vcs da AJUDAMATEMATICA são um grande apoio para isso.

Valeu msm
Um abraços

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