Demonstração envolvendo triângulo

por **Balanar** » Dom Out 17, 2010 00:47

Na figura ao lado, $\overline {RQ}$ é perpendicular a $\overline {PQ}, \overline {PQ}$ é perpendicular a <img src="http é perpendicular a $\overline {PT} \,\,e\,\, \overline {TS}$ $\overline {PR}$ .
Prove que :
(TS).(RQ)=(PS).(PQ)

por **Loretto** » Dom Out 17, 2010 03:39

Nesse exercício, como trata-se de provarmos uma igualdade entre segmentos de retas, com seus respectivos ângulos adjacentes, é muito importante lembrar do seguinte teorema : " O maior lado de um triângulo é aquele oposto ao maior ângulo", e também de que " O menor lado é aquele oposto ao menor ângulo". Assim, trabalhando as incógnitas dos segmentos, chegaremos a tese procurada. Tente resolvê-lo trabalhando a partir desse teorema que você conseguirá. Um abração !!

por **VtinxD** » Dom Out 17, 2010 19:52

Peguemos primeiro o angulo TPS:
$sen\left(TPS \right)=\left(\frac{TS}{TP} \right)$ .
Como TPS e RPQ são complementares o $sen\left(TPS \right)=cos\left(RPQ \right)$ e $cos\left(RPQ \right)=\left(\frac{PQ}{RP} \right)$
De onde tiramos a igualdade: $\left(\frac{TS}{TP} \right)=\left(\frac{PQ}{RP} \right)\Rightarrow\left(\frac{RP}{TP} \right)=\left(\frac{PQ}{TS} \right)$ (1)
Como TPS e RPQ são complementares o $cos\left(TPS \right)=sen\left(RPQ \right)$ e $sen\left(RPQ \right)=\left(\frac{RQ}{RP} \right)$
De onde tiramos a outra igualdade: $\left(\frac{PS}{TP} \right)=\left(\frac{RQ}{RP} \right)\Rightarrow\left(\frac{RP}{TP} \right)=\left(\frac{RQ}{PS} \right)$ (2)

Como $\left(\frac{RP}{TP} \right)=\left(\frac{RQ}{PS} \right)=\left(\frac{PQ}{TS} \right)$ e agora multiplicando em cruz a parte que nos interessa,temos:

(TS).(RQ)=(PQ)(PS)