questoes de concurso

por **karla_paula** » Dom Jun 13, 2010 15:06

41. Sejam:
$\frac{1^2}{1}+ \frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+....\frac{1001^2}{2001} e b= \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}....\frac{1001^2}{2003}$

Qual é o inteiro mais próximo de a – b?
(A) 1001.
(B) 500.
(C) 999.
(D) 1000.
(E) 501

por **Vininhuu** » Seg Jul 12, 2010 15:51

O $a = \dfrac{1^2}{1} + \dfrac{2^2}{3} + \dfrac{3^2}{5} + \dfrac{4^2}{7} + \ldots \dfrac{1001^2}{2001}$ ?

É que ali não consta o valor de

, só mostra o " $\dfrac{1^2}{1} + \dfrac{2^2}{3} + \dfrac{3^2}{5} + \dfrac{4^2}{7} + \ldots \dfrac{1001^2}{2001}$ " e o valor de

.

por **MarceloFantini** » Ter Jul 13, 2010 16:26

Quando tivermos 3 parcelas: $(\frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{3} + \frac{3^2}{5}) - (\frac{1^2}{3} + \frac{2^2}{5} + \frac{3^2}{7}) = 1 + \frac{4-1}{3} + \frac{9-4}{5} - \frac{3^2}{7} = 3 - \frac{3^2}{7}$ .

Quando tivermos 10 parcelas: $(\frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{3} + \frac{3^2}{5} + \frac{4^2}{7} + \frac{5^2}{9} + \frac{6^2}{11} + \frac{7^2}{13} + \frac{8^2}{15} + \frac{9^2}{17} + \frac{10^2}{19}) - (\frac{1^2}{3} + \frac{2^2}{5} + \frac{3^2}{7} + \frac{4^2}{9} + \frac{5^2}{11} + \frac{6^2}{13} + \frac{7^2}{15} + \frac{8^2}{17} + \frac{9^2}{19} + \frac{10^2}{21})$

$= 1 + \frac{4-1}{3} + \frac{9-4}{5} + \frac{16-9}{7} + \frac{25-16}{9} + \frac{36-25}{11} + \frac{49-36}{13} + \frac{64-49}{15} + \frac{81-64}{17} + \frac{100-81}{19} - \frac{10^2}{21}$

$= 10 - \frac{10^2}{21}$

Assim, quando tivermos n parcelas: $(\frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{3} + ... + \frac{n^2}{2n-1}) - (\frac{1^2}{3} + \frac{2^2}{5} + ... + \frac{n^2}{2n+1}) = n - \frac{n^2}{2n+ 1}$

No caso, $2n+1 = 2003 \Rightarrow n = 1001$ , logo o número inteiro mais próximo é 1001, alternativa A.

por **Molina** » Ter Jul 13, 2010 16:55

Boa tarde, Karla.

Problema interessante. Se depois puder nos dizer de qual concurso foi, ficaria grato.

Vou reescrever os dados que você passou:

$a= \frac{1^2}{1}+ \frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+....+\frac{1001^2}{2001}$

$b= \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}+....+\frac{1001^2}{2003}$

Só que agora vou colocar todas as frações de a e b com o mesmo denominador uma embaixo da outra, para facilitar na visualização da subtração:

$a= \frac{1^2}{1}+ \frac{2^2}{3}+\frac{3^2}{5}+\frac{4^2}{7}+....+\frac{1001^2}{2001}$

$b= \frac{0^2}{1}+ \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{5}+\frac{3^2}{7}+....+\frac{1000^2}{2001}+\frac{1001^2}{2003}$

Note que eu não fiz nenhuma alteração, apenas adicionei um termo nulo em b para ficar alinhado os denominadores. Subtraindo a-b

, termo a termo com o mesmo denominador você irá obter:

$a-b=1+\frac{3}{3}+\frac{5}{5}+\frac{7}{7}+\frac{9}{9}+...+\frac{2001}{2001}-\frac{1001^2}{2003}$

$a-b=1+1+1+1+...+1-\frac{1001^2}{2003}$

$a-b=1001-\frac{1001^2}{2003} \approx 500,749875 \approx 501$

Bom estudo! :y:

por **MarceloFantini** » Ter Jul 13, 2010 16:57

Quero pedir desculpas. Errei na hora do resultado final, aqui está o certo: $n = 1001 \Rightarrow 1001 - \frac{1001^2}{2003} = 1001 - 500.2501 = 500.7499$ , ou seja, o número inteiro mais próximo é 501, letra E.

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