Aplicações da Derivada

por **Bruhh** » Qua Jun 02, 2010 19:00

Olá, boa tarde

Resolvi alguns exercícios porém, não consigo de forma alguma, resolve-los de forma correta. Alguém poderia me ajudar e ver o que estou fazendo de errado??

-Uma chapa metálica quadrada de lado x está se espandindo segundo a equação x= 2+t², onde a variável t representa o tempo.Determinar a taxa de variação da área desse quadrado no tempo t=2.
Bom pelo o que eu aprendi, eu teria que derivar a função e substituir 2 em t para obter a taxa de variação e como a área é igual ao lado² , ficaria assim:
x= 2+t²
x'=0+2t
x'=2t , com t=2
x'=4cm³/cm
Mas o que acontece é que a minha resposta me informa como resposta 48.Gente de onde eles tiraram esse número??!?

-Um copo de limonada a uma temperatura de 40F está em uma sala com temperatura constante de 70F.Pode-se mostrar que se a temperatura da limonada atingir 52F em uma hora, então a temperatura T da limonada como função no tempo decorrido é modelada aproximadamente pela equação T=70-30. ${e}^{-0,5t}$ , onde T está em graus F e t em horas.Qual a taxa de variação quando t=5

Bom aqui eu tentei resolver fazendo inicial - final dividido pelo tempo e pela derivação, mas acredito que a forma correta seja a derivação, então fiz assim:
T'=70-30. ${e}^{-0,5t}$ .(-0,5)
T'=70-30. ${e}^{-0,5.5}$ .(-0,5)
T'=70-30.0,082084998.(-0,5)
T'=70-30.(-0,041042499)
T'=70+1,231274979
T' $\simeq$ -71,23

A resposta correta é 1,23F/h .Por favor, alguém sabe me dizer o que estou fazendo errado??

Muito Obrigadaa

por **Douglasm** » Qua Jun 02, 2010 19:26

Olá Bruhh. Vamos ao primeiro problema:

1) Aqui o enunciado não é totalmente claro em minha opinião. A equação que ele dá é referente a dilatação linear da chapa, por conta disso e do fato da chapa ser quadrada, essa equação deve ser elevada ao quadrado para termos a dilatação superficial:

$x - 2 + t^2 \; \therefore \; x^2 = (2+t^2)^2 = 4 + 4t^2 + t^4$

Agora sim derivamos:

$\frac{d(x^2)}{dt} = 8t + 4t^3$

Para t=2:

$\frac{d(x^2)}{dt} = 48 cm^2/s$ (isso se x estiver em centímetros e o tempo em segundos)

2) Este problema é basicamente igual ao primeiro. Para encontrar a taxa de variação, é só derivar a equação e substituir o valor (já adianto que seu erro foi somente esquecer que a derivada de 70, uma constante, é igual a zero.):

$T = 70 - 30.e^{-0,5t} \; \therefore \;$

$\frac{dT}{dt} = -30(-0,5).e^{-0,5t} = 15.e^{-0,5t}$

Para t=5:

$\frac{dT}{dt} = 15.e^{-2,5} = 1,23 F/h$

Espero ter ajudado. Até a próxima.

por **Bruhh** » Sáb Jun 05, 2010 18:25

Muito obrigada, entendi tudo direitinho.

Obrigada

Aplicações da Derivada

Aplicações da Derivada

Aplicações da Derivada

Re: Aplicações da Derivada

Re: Aplicações da Derivada

Quem está online