Duvida [Urgente] - Otimização

por **Asustek27** » Qui Mai 27, 2010 11:26

Boa tarde.
Antes de mais, peço desculpa se o exercício não foi colocado no local correto, mas estou com algumas dificuldades em resolvê-lo.

O exercício é o seguinte:
8.) O modelo matemático encontrado para descrever o arco de entrada num túnel, representado no referencial o.n xOy , é dado pela função:
f(x) =ln (16-x^2)(x elevado a 2)

8.1) Recorra à calculadora gráfica para determinar o ponto onde a taxa de variação de f é nula e interprete o valor encontrado no contexto do problema.

8.2) Determine a distância ___ (a largura da entrada do túnel).
-------------------------------- AB

A imagem referente ao exercício é esta: Imagem

Tenho imensas dúvidas do que fazer neste exercício, daí não ter colocado nenhuma explicação no contexto em si.
Agradeço a quem me ajudar a resolvê-lo, pois terei que o apresentar amanhã, muito obrigado!

por **MarceloFantini** » Qui Mai 27, 2010 17:42

Bom, primeiro nós temos algumas restrições: não existe logaritmo de 0 e o logaritmando tem que ser positivo. Assim: $x^2 \neq 16$ e 16 -x^2 >0

. Dessas duas, podemos obter que -4 < x < 4

(explicação detalhada: $x^2 < 16 \Rightarrow \sqrt {x^2} < \sqrt {16} \Rightarrow \left| x \right| < 4 \Rightarrow -4 < x < 4$ ).

Agora, derivando a função: $f'(x) = (ln (16 -x^2))' \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{16-x^2} \cdot -2x = \frac {-2x}{16 -x^2}$

A taxa de variação é nula quando f'(x) = 0

, ou seja, x=0

.

Interpretando os resultados obtidos no problema: a taxa de variação se anula, ou seja, a derivada é zero quando a reta tangente é horizontal (paralela ao eixo x). Os valores onde x se anularia (mas não assume devido a restrição do logaritmo) são -4 e 4, como calculado acima. No entanto, são as extremidades do tunel, e então a distãncia $\overline{AB} = 8$ .

Qualquer dúvida comente.

por **Asustek27** » Qui Mai 27, 2010 19:36

Olá amigo,
Tenho a agradecer-lhe novamente a sua óptima ajuda à resolução deste problema e muitos parabéns pelos seus grandes conhecimentos!

Depois de ver o exercício surgiu-me uma outra dúvida.
Como pede na alínea 8.1) qual é a fórmula que tenho que introduzir na calculadora para me ajudar no resultado final?

Obrigado mais uma vez.
Cumprimentos.