ORM - 2010

[Molina]

Essa semana vou dar o treinamento da Olimpíada Regional de Matemática e ontem fiquei fazendo algumas questões que serão usadas neste treinamento. Vou colocar aqui uma que aparentemente parecia a mais simples de todas, mas foi a que mas me fez perder tempo. Espero que vocês gostem e façam mais rápido do que eu

Na figura, as distâncias entre dois pontos horizontais consecutivos e as distâncias entre dois pontos verticais consecutivos são iguais a 1. A região comum ao triângulo e ao quadrado tem área:

obm.JPG (2.82 KiB) Exibido 3575 vezes

[Neperiano]

Ola

Eu naum vou responder, mas creio que para calcular a area do triangulo basta traçar outros triangulos ao lado, aonde há a linha reta para que possa saber o valor do lado, do quadrado é só multiplicar

[Molina]

Ola

Eu naum vou responder, mas creio que para calcular a area do triangulo basta traçar outros triangulos ao lado, aonde há a linha reta para que possa saber o valor do lado, do quadrado é só multiplicar

Vou dar as alternativas pra ajudar:

a)

b)

c)

d)

e)

[Douglasm]

Olá Molina! Bacana este problema. Eu encontrei a alternativa d) usando geometria analítica. Veja só:

Primeiro defini um sistema cartesiano de origem (0,0) no ponto na extremidade inferior esquerda. A partir daí resolvi encontrar a equação de um reta que passar por (0,3) e (3,1) (reta essa, paralela ao lado maior do triângulo). Assim achei:

, sendo (reta decrescente e é o menor ângulo que a reta forma com a horizontal)

Deste modo:



Ok. Agora o que fiz foi encontrar a intersecção dessa reta com as retas e (paralelas aos lados direito e superior do quadrado, respectivamente.). Fazendo isso, podemos encontrar as medidas do pequeno triângulo que fica fora do triângulo que contém o quadrado:

1º - Intersecção entre e :





O ponto de intersecção tem coordenadas (0,5/3) e o vértice coordenadas (0,2). É fácil notar que o primeiro lado do pequeno triângulo vale 1/3.

2º - Intersecção entre e :





A distância desta intersecção ao vértice vale 1/2.

Agora é só subtraírmos da área do quadrado a área deste pequeno triângulo:

=

Seria essa a resposta?

Até a próxima.

EDIT: Inverti as coordenadas, agora já está certo.

[Molina]

Boa tarde, Douglas.

A resposta está certa sim. Gostei da forma que você resolveu.

Vou colocar aqui meu modo de solução (e modo da organização das olimpíadas):

É fácil perceber que o lado do triângulo intercepta a parte superior do quadrado no ponto médio deste segmento. Então a base do 'triângulo menor'* nós já temos, que é: .

* Entende-se pela área do quadrado que é comum a área do triângulo.

Precisamos agora achar a altura deste triângulo menor, para calcular sua área e posteriormente retirar da área do quadrado. Para isso usaremos semelhança de triângulos.

imagem.JPG (5.09 KiB) Exibido 3532 vezes

O que nos garante que a altura do triângulo menor (que estávamos procurando a área) é

Logo a área do triângulo menor é:

A área total do quadrado é 1, logo a área comum as duas figuras é

[Douglasm]

Olá Molina. Esse seu método é muito mais objetivo. Eu não tinha me tocado que podia afirmar que o lado de cima do triângulo menor era 1/2, assim seria bem mais rápido.

Até a próxima.

[Molina]

Olá Molina. Esse seu método é muito mais objetivo. Eu não tinha me tocado que podia afirmar que o lado de cima do triângulo menor era 1/2, assim seria bem mais rápido.

Até a próxima.

Na verdade eu não afirmei. Pensa o seguinte:

G é ponto médio de PM

Com isso F é ponto médio de PN

H é ponto médio de MN e consequentemente ponto médio de AB.

Por isso AH = HB = DF = FC = 0,5.

[Douglasm]

Exatamente =P. Só depois de ler como você fez é que pude notar isso. Sorte que temos a geometria analítica para nos garantir um resultado, mesmo que normalmente exija mais trabalho braçal! Espero por mais desafios (cheguei a tentar um pouco aquele dos dados, mas parece ser dureza...)

Até a próxima.