Reta tangente

por **Joao buck** » Sáb Out 07, 2017 17:40

Nao estou conseguindo entender como resolver esse exercicio, ajuda pf:
Encontre as equaçoes das retas tangendes a elipse x² + 4y²=36 que passam pelo ponto (12,3)

por **nakagumahissao** » Seg Fev 26, 2018 20:04

Esta é uma questão um tanto difícil de ser resolvida.

Vamos partir do fato que, derivando implicitamente a equação, teremos como declividade:

${x}^{2} + 4{y}^{2}=36 \Rightarrow 2xdx + 8ydy = 0 \Rightarrow \frac{dx}{dy} = -\frac{x}{4y}$

Agora, vamos isolar $4{y}^{2}$
$4{y}^{2} = 36 - {x}^{2} \: \: \: [1]$

A Equação da reta em qualquer ponto da elipse deverá ser:

$y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)$

Sabemos um ponto desta reta (12, 3). Utilizando este ponto na equação acima, teremos:

${y}_{0} = 3, \: \: {x}_{0} = 12, \: \: y - 3 = -\frac{x}{4y}\left(x - 12 \right)$

Resolvendo:

$4{y}^{2} - 12y = -{x}^{2} + 12x$

Usando o fato [1] acima nesta última equação, tem-se que:

$(36 - {x}^{2}) - 12y = -{x}^{2} + 12x$

12y = - 12x + 36

Substituindo-se este resultado para y em nossa equação original do problema, obtem-se:

${x}^{2} + 4{(- x + 3)}^{2} = 36$

${x}^{2} + 4\left({x}^{2} - 6x + 9 \right) = 36$

${x}^{2} + 4{x}^{2} - 24x + 36= 36$

$5{x}^{2} - 24x = 0$

${x}^{2} - \frac{24}{5}x = 0 \Rightarrow x\left(x - \frac{24}{5} \right) = 0$

Dessa maneira,

$x = 0 \:\: ou \:\: x = \frac{24}{5}$

O que é esperado.

Logo, y, tomando-se x = 0, deverá ser y = 3. Ponto (0, 3). E para x = 24/5, e como:

y = - x + 3

então, y deverá ser:

$y = -x + 3 = -\frac{24}{5} + 3 = -\frac{9}{5}$

Assim, agora podemos obter finalmente o que nos foi solicitado, ou seja, as equações das retas tangentes que passam pelo ponto (12, 3).

Para a primeira reta que passa pela elipse tocando em (0, 3) teremos:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y} = -\frac{0}{3} = 0$

$y - {y}_{0} = \frac{dy}{dx}\left(x - {x}_{0} \right)$

$y - 3 =0 \cdot \left(x - 0 \right)$

y = 3

que é a equação da primeira reta que passa no ponto (0,3) e também pelo ponto (12,3).

Utilizando (24/5, -9/5), a declividade serã de:

$\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{4y} = - \frac{\frac{24}{5}}{-4 \cdot \frac{9}{5}} = \frac{2}{3}$

e a reta que passa por este ponto (24/5, -9/5) e também pelo ponto (12, 3) deverá ser:

$y + \frac{9}{5} = \frac{2}{3}(x - \frac{24}{5}) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x -5$

Assim, a segunta equação de reta será

$y = \frac{2}{3}x -5$

O método que utilizei é um tanto longa e trabalhosa. Pode ser que existam meios mais rápidos e eficientes de se resolver este problema, porém isto é o que me veio em mente. Espero ter ajudado.

Se desejar ver o grafico e essas tangentes, acesse http://simples.zapto.org/?p=675

Reta tangente

Reta tangente

Reta tangente

Re: Reta tangente

Quem está online