Esta é uma questão um tanto difícil de ser resolvida.
Vamos partir do fato que, derivando implicitamente a equação, teremos como declividade:
Agora, vamos isolar
A Equação da reta em qualquer ponto da elipse deverá ser:
Sabemos um ponto desta reta (12, 3). Utilizando este ponto na equação acima, teremos:
Resolvendo:
Usando o fato [1] acima nesta última equação, tem-se que:
Substituindo-se este resultado para y em nossa equação original do problema, obtem-se:
Dessa maneira,
O que é esperado.
Logo, y, tomando-se x = 0, deverá ser y = 3. Ponto (0, 3). E para x = 24/5, e como:
então, y deverá ser:
Assim, agora podemos obter finalmente o que nos foi solicitado, ou seja, as equações das retas tangentes que passam pelo ponto (12, 3).
Para a primeira reta que passa pela elipse tocando em (0, 3) teremos:
que é a equação da primeira reta que passa no ponto (0,3) e também pelo ponto (12,3).
Utilizando (24/5, -9/5), a declividade serã de:
e a reta que passa por este ponto (24/5, -9/5) e também pelo ponto (12, 3) deverá ser:
Assim, a segunta equação de reta será
O método que utilizei é um tanto longa e trabalhosa. Pode ser que existam meios mais rápidos e eficientes de se resolver este problema, porém isto é o que me veio em mente. Espero ter ajudado.
Se desejar ver o grafico e essas tangentes, acesse
http://simples.zapto.org/?p=675
Eu faço a diferença. E você?
Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali