[Limites] Como calcular este limite?

por **alienpuke** » Qui Out 01, 2015 11:18

To com problemas ao calcular este limite, alguém pode me ajudar?

$\lim_{x>\infty} \frac{\sqrt[]{x^2-x}}{3x+2}$

Sei que a resposta disso é 1/3 mas nao consigo chegar a ela

por **nakagumahissao** » Qui Out 01, 2015 23:59

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^2-x}}{3x+2} = \lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{\frac{x^2 - x}{(3x + 2)^{2}}} = \lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{\frac{x^2 - x}{9x^2 + 12x + 4}$

Dividindo-se o numerador e o denominador por x^2, teremos:

$\lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{\frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2}}{\frac{9x^2}{x^2} + \frac{12x}{x^2} + \frac{4}{x^2}}} = \lim_{x \rightarrow\infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{x}}{9 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^{2}}}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Todas as frações, com exceção da fração principal, tendem para zero quando x tende ao infinito.

$\blacksquare$

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