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Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

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Mensagempor Fernandobertolaccini » Ter Fev 03, 2015 12:43

Se A=(2y+3)i+(xz)j+(yz-x)k, calcular \int_{c}^{ }A.dR ao longo das retas que ligam sucessivamente os pontos (0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,1) , (2,1,1)


Resp: 10


Como fazer ?


Obrigado !!
Fernandobertolaccini
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Re: Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de l

Mensagempor Russman » Ter Fev 03, 2015 19:07

O primeiro passo é calcular o rotacional do campo vetorial em questão. Se o mesmo for nulo para qualquer ponto (x,y,z) então a a integral de linha terá um valor independente do caminho. Infelizmente, não é o caso. Então, primeiramente, calcule o produto interno \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} onde \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = dx \ \widehat{i} + dy  \ \widehat{j} + dz \ \widehat{k}.

Obteremos \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = (2y+3)\  dx + xz \ dy + (yz-x) \ dz.

Agora, o caminho é dividido em 3 partes. Assim,

\int_C \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} +\int_{C_2} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} + \int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r}

onde cada caminho C_i é a reta que liga os pontos consecutivos.

Como as retas são em 3D o melhor caminho é parametrizá-las. A primeira, deve passar por (0,0,0) e (0,0,1). Assim, uma boa parametrização seria (x,y,z) = (0,0,t).

Daí,

\int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{1} \left [(2y(t)+3) dx(t) + x(t)z(t) dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) dz(t)  \right ] = 0.

A parametrização para o próximo caminho pode ser (x,y,z) = (0,t,1) de modo que a integral C_2 também será nula.

Já para o caminho C_3 temos (x,y,z) = (t,1,1) de modo que

\int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{2} \left [(2y(t)+3)\  dx(t) + x(t)z(t) \ dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) \ dz(t)  \right ] =
= \int_{0}^{2} 5 dt = 5 (2-0) = 10.

O único caminho que contribui para a integral é o último.
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.