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Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

Mensagempor Fernandobertolaccini » Ter Fev 03, 2015 12:43

Se A=(2y+3)i+(xz)j+(yz-x)k, calcular \int_{c}^{ }A.dR ao longo das retas que ligam sucessivamente os pontos (0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,1) , (2,1,1)


Resp: 10


Como fazer ?


Obrigado !!
Fernandobertolaccini
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Re: Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de l

Mensagempor Russman » Ter Fev 03, 2015 19:07

O primeiro passo é calcular o rotacional do campo vetorial em questão. Se o mesmo for nulo para qualquer ponto (x,y,z) então a a integral de linha terá um valor independente do caminho. Infelizmente, não é o caso. Então, primeiramente, calcule o produto interno \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} onde \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = dx \ \widehat{i} + dy  \ \widehat{j} + dz \ \widehat{k}.

Obteremos \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = (2y+3)\  dx + xz \ dy + (yz-x) \ dz.

Agora, o caminho é dividido em 3 partes. Assim,

\int_C \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} +\int_{C_2} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} + \int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r}

onde cada caminho C_i é a reta que liga os pontos consecutivos.

Como as retas são em 3D o melhor caminho é parametrizá-las. A primeira, deve passar por (0,0,0) e (0,0,1). Assim, uma boa parametrização seria (x,y,z) = (0,0,t).

Daí,

\int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{1} \left [(2y(t)+3) dx(t) + x(t)z(t) dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) dz(t)  \right ] = 0.

A parametrização para o próximo caminho pode ser (x,y,z) = (0,t,1) de modo que a integral C_2 também será nula.

Já para o caminho C_3 temos (x,y,z) = (t,1,1) de modo que

\int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{2} \left [(2y(t)+3)\  dx(t) + x(t)z(t) \ dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) \ dz(t)  \right ] =
= \int_{0}^{2} 5 dt = 5 (2-0) = 10.

O único caminho que contribui para a integral é o último.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.